1992年上海市高中数学竞赛试题
第一试
k
1．若组合数C10=45，则非负整数k = _____．
??412．设集合M=?x|x?20|<,x∈Z?，P={x|x|<40,x∈Z}，则集合M∩P中元素的总和是_____．
2??
(1+cos2B+isin2B)(1+cos2C+isin2C)
3．设A、B、C为△ABC的三内角，则复数的虚部是_____．
1+cos2A?isin2A
4．若满足cosθ?sin2θ=α的实数θ存在，则实数α的取值范围是_____．
5．设x、y为互质的自然数，且xy = 1992，则这样的不同的有序数组（x，y）的组数是_____．
6．若两数19x + 1，92x + 74的较大值非负，则实数x的取值范围是__________．
d的取值范围为7．凸四边形ABCD的四个内角满足A < B < C < D，且A、B、C、D成等差数列，则公差__________．
8．若α为锐角，且sinα=
17
sinβ，tanα=tanβ，则α=_____．84
9．若关于x的方程x2?5xlog2a+6(log2a)2=0的两根中仅有一个较小的根在区间（1，2）内，则实数a
的取值范围是__________．
10．若x，y∈R，且x2+ 23xy?y2=3，则x2+y2的最小值是_____．
11．若椭圆的长轴长为4，左顶点在抛物线y2 = x?1上，且左准线为y轴，则这样的椭圆的离心率的最大可能值是_____．
12．若正数a使不等式x+y≤ax+y对一切正数x、y成立，则a的最小可能值是_____．
13．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，已知对角线A1C = 4，B1D = 2．若P是空间一点使PA1 = 3，PC = 5，则PB12+PD2=_____．
14．△ABC的三边AB、BC、CA的长依次是2、3、4，D是以△ABC的外接圆为大圆的球面上一点，若D到A、B、C的距离相等，则三棱锥D?ABC的体积是_____．
2π，则AA1=_____．3
对平面区域D，用N（D）表示属于D的所有整点（即xOy平面上坐标x、的个数．若16．y都是整数的点）
22
和两直线x=10，y=1所围成的区域（包括边界），x≥0）x≥0）A表示由曲线y = x（B表示由曲线y = x（
和两直线x = 1，y = 100所围成的区域（包括边界），则N（A∪B）+ N（A∩B）= _____．15．正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，若两面角A?BD1?C的大小是
17．设全集I={(x,y)|x、y∈R}，集合A={(x,y)|xcosθ+ysinθ?2=0,x、y、θ∈R}，则在xOy平面上，集合A（表示A的补集）元素的对应点构成的图形的面积是_____．
x2y2
18．设a、b是两已知正数，且a>b．点P、Q在椭圆2+2=1上，若连接点A（?a，0）与Q的平行
ab于直线OP．且与y轴交于点R，则
|AQ|?|AR|
（O为坐标原点）=_____．
|OP|2
2的19．设定点P在圆周x2+y2=1上，若点Q、R在圆x2+y2=1的内部或圆周上，且△PQR为边长是3（O为坐标原点）正三角形，则|OQ|2+|OR|2的最大值是_____．
第二试
一、填空题
1．不定方程6(5a2+b2)=5c2的满足c≤20的自然数解（a，b，c）共有_____组．
，|z1|+|z2|=12，令u=|5x?6y?30|，2．x、y是实数．z1=x+11+yi，z2=x?11+yi（i为虚数单位）则u的最大值是_____，u的最小值是_____．
3．aoshoo.com防盗暗记．已知θ∈(0,则a+a3+a5+??+a2n?1=_____．
π
1
)，a∈R，且a4?2a3sinθ+a2?2asinθcos2θ+sin22θ=0，24
4．设P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是常数，如果P(1)=10，P(2)=20，P(3)=30，则
P(10)+P(?6)=_____．
在1，满足a1
二、在桌面上放有七个半径为R的木球O、O1、O2、…、O6，球O1、O2、…、O6都与球O相切．问在这些球上面是否可以再放三个半径为R的木球O7、O8、O9，使得O7、O8、O9这三个球都与球O相切？并说明理由．
三、设n是给定的自然数，求所有正数对（a，b），使得x2+ax+b是ax2n+(ax+b)2n的因式．
四、设n是给定的自然数，n≥3，对于n个结定的实数a1,a2,??,an，记|ai?ai|(1≤i 简略答案第一试： 1．2或8 2．780 3．0 4．? π537 ≤a≤1 5．8 6．[?,+∞) 7．(0,) 4634 8． π23 9．[34,2) 10． 11． 12．2 13．28 14．2 15．1 16．1010 17．4π 323 2(4?6)sinθ/cos2θ 4．30(2+1)，m(n+2) 第二试：一、18．2 19． 20．1．4 2．0 3．8104 3(2k+1)π? 5．16 二、可以 三、a=?2|cos 2n? (2k+1)π?2n?1? ，b=?2|cos|? 2n?? 2n 2 ?2n?1 ，其中k∈N+，且|?? n<2k+1<3n 四、12 n(n2?1) 1991年上海市高中数学竞赛试题 第一试 9项系数与第13项系数相等，则第20项系数为_____．1．在(1+x)n的二项展开式中，若第 2．已知集合P={(x,y)|x=sinθ+cosθ,y=sin2θ,θ∈R}，Q={(x,y)|x?y+1=0}，则用列举法表示 P∩Q=__________． p+1p?1 αβ，，则用p表示tanα?tanβ=_____．?=cos()3．已知p≠0，cos(α+β)= 2p22p2 4．已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是5，首项a∈N,则公比q的最小可能值为_____．5．已知sinθ+cosθ=2，则(log1sinθ)(log1 cosθ)的值为_____． 226．已知直角坐标平面内四点A（1，0），B（3，0），C（0，1），D（6，1），则该直角平面内到这四点的距离平方和最小的点的坐标是_____． x2y2(x?5)2y2+=1上变动时，当点（x，在曲线代数式+所能取到的最大值与最小值的和是_____．y）7． 169169 8．一个等腰三角形顶角的顶点在原点O，另两个顶点A、B在直角坐标平面的上半平面，腰长OA = OB = c）b、c表示cos(α?β)=_____．β，底边BA中点M的坐标为（b，，两腰所在直线的倾角分别为α、则用a、a， 9．已知函数y=loga(x?ka)+loga(x2?a2)的定义域为x>a，则实数k的取值范围为_____． sinx+sin2x+i(2cos2xsinx?tanx) 成为实数的所有x构成的集合是_____． 10．使复数z= cosx?i 11．在四棱锥P?ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且面积为1平方米，侧面PAB、PAD都与底面垂直， 侧面PBC、PCD与底面分别成60°角与30°角，则该四锥棱的体积为_____立方米． 12．已知三个半径为6的球在平面α的同一侧，与平面α都相切，且每个球与另外两个球外切，另有一个球和平面α及这三个球都相切，则它的半径为_____． 13．已知n∈N，2n> n3，则n的取值范围为_____． 张卡片上的数字的和在开区间（10，15）内，则不同的取法种数是_____． 14．10张不同颜色的卡片上各写一个数，其中有2个5，3个2，5个1，从中取出5张卡片，使得这5 15．对每个n∈N+，设an=n+2n+1+n ?1+n?2n+1，则∑ a 323232n=1500 1 2n?1 的值是_____． 16．在双曲线4x2?y2 = 4的两条渐进线上分别取点A和点B，使 |OA|?|OB| = 5，其中O是双曲线的中心， 则AB中点轨迹的普通方程是_____． 17．用平面去截一个正四棱柱，使截面为菱形，且有一个内角为30°，则截面与底面所成的二面角大小 为_____． 18．若三角方程sin(x+)?sin2x=a有实数解，则实数a的取值范围为_____． 419．若x1、x2是方程x2?xsin 4π4π+cos =0的两个根，则arctanx1+arctanx2的值是_____．77 π 20．已知椭圆的长轴长为4，焦距 | F1F2 | = 2，过椭圆的焦点F1的两条互相垂直的弦的长度和是48/7， 则这两条弦的长度的积是_____． 第二试第一轮 2 x12+x2 最小，最小值为_____．1．a > 0且方程x?ax+a=0有两个实数根x1、x2，则当a为_____时， x1+x2 2 3+13?1n 2．设n为使an=(i)取实数的最小自然数，则对应此n的an=_____．+225次都出现正面的不同情形共_____种．3．将一枚硬币抛10次，那么至少连续 4．设在坐标平面上有区域2x?1≤y<2n?1，x>0，那么在此区域中，x、y的坐标都取整数的点的个数 是_____．（这里n是给定的大于2的正整数） 5．设多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+??+a2n?1x2n?1+x2n的根都是正整数，并且a0+a2+a4+?? +a2n?2=?(a1+a3+??+a2n?1)，那么a1=_____． 6．给定正整数n≥3，令S是集合{2，3，…，n}的所有非空子集组成的集合，对每一个Si∈S， =_____．i=1,2,??,2n?1?1．令Pi是Si中所有元素的乘积．那么P1+P2+??+P2n?1?1 7．将三个数10a2+81a+207，a+2，26?2a给予适当的编排，分别取常用对数后成公差为1的等差数列，那么此时a=_____． 第二试第二轮 1．求满足[x2?2x] = [x]2?2[x]的一切实数x．其中[x]表示不超过x的最大整数． 2．设S = {1，2，3，4}．a1,a2,??,ak是S中的数所成的数列，它包含S的不以1结尾的任何排列，即对 b4≠1，于S的四个数的任意一个不以1结尾的排列（b1,b2,b3,b4），都有i1,i2,i3,i4使得1≤i1 并且（ ai1,ai2,ai3,ai4）=（b1,b2,b3,b4）．求这种数列的项数k的最小值． ?1???1(m+2)+m???2(m+2)????22(2n?1) 3．n,m∈N，求证： ?1?+?(m+2)?m??2?2(2n?1) ?? +2?是完全平方数．?? 4．给定△ABC，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．在△ABC所在平面作直线l与△ABC的某两 边相交，沿l将△ABC折成一个空间图形，将由l分成的小三角形的不在l上的顶点与另一部分的顶点连接，形成一个三棱锥或四棱锥．问： （1）当a=b=c时，l如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大？（需详证） （2）当a≤b≤c时，l如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大?（叙述结果，不要求证明．） 14111512(b2+c2)?a2 ? 4． 5． 6．1．20 2．{(?1,0)} 3．简略答案第一试：(,) 7． 8．58pa24229．?1≤k ≤1 10．{x|x=kπ,k∈Z} 11． 1 12．2 13．n=1或n≥10 14．110 15．5 3 95763π 19． 20．8449 (n+1)!1 ?1 7．22 16．4x2?y2=±4 17．arccos(2?3) 18．?2≤a≤ 第二试第一轮：1．4，2 2．?64 3．112 4．2n(n?2)+2 5．?22nn 6． 1．11 3．第二轮：非正的整数及区间[n,(n?1)2+1+1)内所有实数，其中n为正整数 2．略 4．⑴当l与AB、AC边交于E、D，使AE=AD=⑴中a3a3，并且面ADE和面BCDE垂直时，Vmax= a3123；⑵将 换成bc3，其余条件不变，Vmax= bcbc93sinAcosA 2 1990年上海市高中数学竞赛试题 第一试 1．已知A={a|1≤a≤10,a∈N}；B={b|b=3a?1,a∈A}，用列举法表示A∩B=_____． 1 2．不等式()2 1?x> 12的解是_____． 3．直线y= 4 x与x的轴的夹角平分线的方程是_____．3 ππ2 4．已知圆系方程是x+y2?2xtanα?2ysec2α+tan4α+3tan2α=0（?<α<），则圆心轨迹的普通 22 方程是_____． 5．已知数列{xn}、{yn}满足lim(2xn+yn)=1，lim(xn?2yn)=1，则lim(xnyn)=_____． n→+∞ n→+∞ n→+∞ 4 6．某班中选正、副班长的方法数与选4名乒乓球队员的方法数之比是，则该班的学生数是_____． 287 V1，绕长为b的底旋转一7．梯形的两底分别是a和b，将梯形绕长为a的底旋转一周所得旋转体体积为周所得旋转体体积为V2，则V1/V2 = _____． 8．若正四面体有一个半径为2的内切球，则它的棱长为_____．9．已知复数z满足|z|=1，|10．抛物线y=倾角为11． 1 |>1，则复数z的幅角主值的取值范围是_____．z2+1 12 x(a≠0)以P（2a，2a）为中点的弦所在的直线方程是_____．4a ?x=2cosθB两点，的直线过点P（1,2），且与曲线?则|PA|?|PB|=_____．(0≤θ<2π)交于A、 sin=yθ4? 12．已知⊙O的半径为1，A1、A2、…、A8是该圆周的8个等分点，自A1作A1B2⊥OA2，垂足为B2；自 1 B2作B2B3⊥OA3，垂足为B3；…：自B8作B8B9⊥OA1，垂足为B9；这样可以无限作下去，则使|BnBn+1|< 1990 的最小自然数n = _____． π13．方程logsin(?2x)(sinx+sin3x)=1的解是_______________．14．方程36sin(3πx)=36x2?12x+37的解是_______________． 15．等腰△ABC中，AB = AC，AD是底边上的高，若AB、BC、AD三线段能组成一个三角形，则顶角A的取值范围是_____． 曲线9x2?16y2?36xsinθ+32ycosθ+52sin2θ?160=0的左焦点在直线x?y + 4 = 0上，则tanθ=__．16． ABC的三顶点分别作垂直于它所在平面的垂线AA1、BB1、CC1．若AA1、BB1、17．过边长为4的等边△ CC1的长分别是7、4、1，且在△ABC所在平面的同侧，则△ABC和A1B1C1所在平面所成的二面角大小为_____． 18．若x、y、a都是实数，且x + y = 2a?1，x2 + y2 = a2 + 2a?3，则使乘积xy取最小值的a的值是_____． PA⊥面PBC，则P到面ABC的距离的最大值是_____．19．三棱锥P?ABC的底是边长为a的正三角形， 20．已知数列{an}是等比数列，bn=1+a1+a2+??+an，cn=2+b1+b2+??+bn，若已知数列{cn}是等比 数列，则它的通项公式cn=_____． 第二试第一轮
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