Ｉ＿！ｌＪ（ ＋１）［（ 一１）（Ｘ ＋１）＋ ０ｆ（ 一 ＋１）＋ｎ：（ 一１）＋ｎ３］ ＝（ ＋１）［（ ＋１） ＋ｂｌ（ ＋１） ＋ ｂ，（ ＋１）＋ｂ ］． 故（ —１）（ ！＋１）＋ｎｌ（ 一 ＋１）＋ｎ２（＿卜Ｉ）＋ｎ３ ＝（ ＋１） ＋ｂ１（ ＋１） ＋ｂ２（ ＋１）＋ｂ３． 再令 ＝一１得 ｂ１＝一４＋３Ⅱ１—２ｎ２＋ｎ３． 一＇ １３ ‘’１９０‘ 边长为１的ｌＩＪ！方形有１９。个，边长为２ 的正方形有ｌ８ 个，……边长为ｌ９的正方形 有１ 个．故正方形共有 ，ｊｌ ｚ＋２ 二、．， ．＋１９ ： （个）． ＝ 寸 ¨所求的概率为 Ｏ Ｈ ＞ ● 一 ｎ 一 （ Ｐ＝—， １９ ｘ２０ ｘ３９一一 ６ ÷ 丑 ｕ 一 ＝旦２一十 ＿＿１９０．‘ ３． 一 女口图２，设 Ｉ＋一一 ＝３（ ＞２，）＞１）． ， ＋ Ｄ一 ￡ 心Ｍ（ ，Ｙ）（ ＞２，Ｙ＞１）．贝０ Ａ（ 一２，一＋ ０）、 （ ＋２，『 ０）、 Ｃ（０，Ｙ一１）、 ｏ（ｏ，ｖ＋１）． 【｛ｊ ｌ ＭＡ ｌ ＝ｌ ＭＣ ｌ ， 得２２＋Ｙ ＝ ＋１ ． 图２ 故所求的轨迹是一段双曲线，其方程为 。一Ｙ ＝３（ ＞２，Ｙ＞１）． ４．（ 令ｔ＝ “．则ｔ＞１０，且 一ｔ ＋（ｎ＋ｂ）ｔ—ａｂ 一 ＿＿ 『＿ ｌ＋ ２（０＋ｂ）ｆ ＝一ｔ ＋（ｎ＋ｂ）ｔ＋ａｂ ｔ＝０时，ｆ：一１； 中等数学 一＋ （ｎ＋ｆＪ）＋ ￣２ ／ ＼ａｂ＝（ ｂ√ｎ＋、， ／ 当Ｈ仅当ｔ＝ 时，七式等号成立． 的最大值为（ ） 一 ５?￣ＷＣＣＯ — ■一‘２一、／２ 不妨设正方形的边长为１．则 ｃｏｓ（ ，碲）＝ （ ＋ ）．（葡＋ ） ————— —一一 一ＡＤ．? 一ＢＡ＋初．＋ＡＤ－ 一ＡＦ＋ ＋ＤＣ?ＢＡ＋ ．菌＋一．ＤＣ ＡＦ 。 一ＡＦ—————— 一——… ０＋ｃｏｓ ４５。＋（一１）＋０ 一２ 一—— ～一 丁‘ 因此，ＡＣ与ＢＦ所成角的大小为 ２一 ａｒｃｃ０ 一— 一? ６． ｌ，ｚ（ｎ２＋２）． 由题设得０ ＋２—０， ＋Ｉ＝（０ ＋ｌ一口 ）＋２． 则数列｛ｏ 一ｎ ｝是公差为２的等差数列， 首项为０２—０ｌ＝２．故０ ＋ｌ一。 ＝２ｎ．于是， ｎ ＝（口 一ｎ 一１）＋…＋（ｎ２一口Ｉ）＋０Ｉ ＝２（ｎ一１）＋…＋２＋１＝ｎ（ｎ一１）＋１， Ｓ ∑［＝ｌ （ 一１）＋１１＝∑（＝Ｉ ｋ 一ｋ＋１） ： 。 ± ６ 翌± 一 ！ ± ２＋ ２ ’ １ ： ｎ（ｎ２＋２）． ７．２２一 ． 设点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ到直线 —Ｙ＝０的距 离分别为ｄ。、ｄ，、ｄ 、ｄ ．则 ２００９年第６期 ３ 一ｌ ＝ ’ ｄ ： ｌ４ ｌ ￣／ ＋１ 故Ｓ＝ （ 一２） ＋（３ｋ一１） ＋（２ 一３） ＋（４ｋ） ——一一 一～ ３０ 一２２ ＋１４ 一 ｜ｌ｝ ＋ｌ ‘ 于是，（３０一Ｓ） 一２２ｋ＋（１４一Ｓ）＝０． 当ｓ：３０时， ＝一吾． 当Ｓ≠３０时， △＝２２ 一４（３Ｏ—Ｓ）（１４一Ｓ）ｔ＞０． 解得２２一￣／＿＿ｌ ≤Ｓ≤２２＋、／／ ， Ｉ１＿Ｉ Ｓ＝２２一ｖ／ 时． ＝ ８＋￣／１８５ 为２２一￣／１８５＜３０，所以，Ｓ的最小值 为２２一 亏． ８．１ ｏ０３． 前先，若ｎ＝１ ００２，取 Ａ＝｛５，６，７：，Ｂ＝ １７。１８，…，２４｝， Ｃ＝｛３３，３４，…，３９｝， Ｄ＝｛１ ０２５，ｌ ０２６，…，２ ００８｝． 则Ｓ＝Ａ Ｕ Ｂ Ｕ Ｃ Ｕ Ｄ． 故ｌ ＳＩ：３＋８＋７＋９８４＝１ ００２． 容易验证５中任意两个（可以相同）元 素的和都不是２的幂． 其次，证明：集合｛１，２，…，２ ００８｝的每个 １ ００３元子集中都有２个元素（可以相同），它 们的和足２的幂． 事实上，把集合｛１，２，…，２ ００８｝分成如 下ｌ ００３个两两不相交的子集的并： ｛１，７｝，｛２，６｝，｛３，５｝，｛８，２４｝，｛９，２３｝， ｛１０，２２｝，…，｛１５，１７ ，｛２５，３９｝，…， ｛３ｌ，３３ ，｛４０，２ ００８｝，｛４１，２ ００７｝， ｛４２，２ ０Ｏ６｝，…，｛２ ００３，１ ０２５｝， ｛４，ｌ６，３２．１ ０２４：． ３７ 上面每一个集合都有２个元素（可以相 同），它们的和是２的幂．故｛１，２．…，２ ００８ 的 每个１ ００３元子集，或含有｛４，１６，３２，ｌ ０２４｛ 中的一个元素，或含有前１ ００２个集Ｉ｛１的某 一个．从而，有２个元素（可以相同），它们的 和是２的幂． 综上所述，ｎ的最小值为１ ００３． 二、９．显然，ｎ ： ． 若“ ＝３￡（ｔ∈Ｚ＋），则由ｎ、，２＋ｌ互质， ｎ与几＋１中必有一个足３的倍数． 当门＝３ （ ∈ｚ＋）时 １）； 当ｎ＋１：３ｋ，ＨＩ】ｎ＝３ｋ一１（ ∈Ｚ＋）时， ３ｋ（３ｋ一１） “３ｋｌ 一一 ——? 则数列｛ ｝中的连续ｊ项ｎ ：、ｎ， ，、 ｒｚ 中有连续两项ｎ 。、ａ３ｋ是３的倍数． 炙，ＪＩ＝ｒ上２，６２＝（ｚ３， ３＝ｎ５，６４＝０６， ６ ｌ＝ｎ３ Ｉ，６２ ＝ｎ３ ． ＝∑（ ．＋ ）： ３ ：ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）． １Ｏ．如图３，在 △ＯＢＭ中，由余 弦定理得（记ＡＢ ＝ｃ， ＡＢＣ＝ｐ） ＯＭ （ Ｂ Ｍ图３ Ｃ ＝（号） ＿２． －ｇ ? （卢 ） ２２￣： ＋ 一 （ 一 ｉ ） ＝ ＋＋ 一一 。警ｃｏｓ ＋ ｐ＋ ｓ ｉｎ“ ?ｐ． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理及正弦 理得 ３８ 中等数学 。。 卢： ——— 敞ＯＭ ： 朋 ， 。“ ：ｂ，ｓｉ‘ｎ ｃ．Ｌ? 点Ｐ。（ ，， ）（ｉ＝１，２，３），圆心Ｃ。（ Ｙ。）． 由于线段Ｐ。Ｐ 、Ｐ Ｐ 的垂直平分线过 １（Ⅱｚ＋Ｃ２ｂ２）＋ ｉ一 ＋一＋ 一 （。 ＋ 一 ）＋ Ｃ “ 一 一２２圆心Ｃ 则 ｂ２： ２＋＿４＋ ＿＋ ｊｍ Ｃ ｆ（ｙｚ－Ｙｌ （Ｙｏ－半）＋（１＂２－ＸＩ （Ｘ０－半）－０＇ 【（Ｙ３－Ｙｌ （）ｏ－ ）＋（Ｘ３－；［Ｉ 一半）一ｏ ．＝ ＋ １（。２＋ｂ２＿２以ｃｏｓ ｃ）＋ ｓｉｎ ｃ ： ＝一一＋一２ ＋ 。＋ ＋ （ｓ‘（ ｉｎ ｃ—ｃ。ｓｎ 一ｃｏｓ ｃ） ） ： ＋ １７，２＋ ＋ ａｂｓｉｎ（ｃ－４５ ‘ 一４ ｏ）．’ 同理，ＯＮ２： （／２＋ ＋ ｓｉｎ（ｃ一４５ｏ）． 所以， Ｃ＝１３５。时， ｃ 、＝ ＋等＋ ｎ６＝（号＋ ６）。， （ｏｘ ＋ 故（ＯＭ＋ＯＮ）… ＝ ＋ ＋ １１． 然，，１（ｎ，１）＝ｎ． ∈Ｚ＋，七≥２，Ｈ． ＜２ｋ一１ Ｈ０‘， ／ｉ（，ｌ’ ）＝０． Ｅ Ｚ＋， ≥２，且凡≥２ｋ一１时，设 ｝ｎ ，ｎ！，…，ｎ ｝是｛１，２，…，凡｝中不含连续整 数的 元子集，且“ｌ＜Ⅱ２＜…＜（ｚ ． 贝０｛Ⅱｌ，ｎ２—１，ｎ３—２，…，Ⅱ 一（ 一１）｝ 是｛ｌ，２，…，凡一（ 一１）｝的 元子集． Ｉ ｎｌ，ｎ２，…，ｎ ｝与｛ｆｚＩ， ２—１， ３—２， …，０ 一（ 一１）｝一对应，所以， Ａ（ｎ， ）＝ 一（ 川． １２．首先证｝ＪＩｊ：若一个圆的圆周含有３个 有理点，则该圆周上一定含有无穷多个有理 点． 设平面Ｅ④Ｃ 的圆周Ｅ含有３个有理 由于 、 （ｉ＝１，２，３）都是有理数，因 此，一Ｉ一述关于‰、Ｙ。的二元一次方程组的解 （ 。，）， ）都是有理数，即Ｃ。是有理点． 设有理点 （ …Ｙ）的坐标为 ｆ ， ＝ ０＋Ⅱ （ ３一 （））一，Ｊ （Ｙ３一ＹＩ】）， 【ｙ， ＝Ｙ（）＋ｂ （ ３一 ｛））＋ｎ （Ｙ３一ｙＩＪ）， 其中 ＝客 ＝ （ｎ＝４—５．．）． 则１ Ｃ ｌ ＝［０ （ ３一 ｏ）一６ （ｙ３一Ｙｏ）］ ＋ ［６ （ ３一 ０）＋口 （Ｙ３一） ０）］ ＝（ｎｊ＋ｃＩ ）［（ 一 ，） ＋（Ｙ３一Ｙ。） ］ ＝（ ３一 【Ｊ） ＋（Ｙ３一 ｏ） ＝ｌ Ｐ３ Ｃｏ ｌ ． 故点ＪＰ， （ ＝４，５，…）都在ｏ Ｃ ，的圆周 即④Ｃ 的圆周上有无穷多个有理点． 其次，构造一个圆周上只禽有两个有理 点的实例． Ｇ：（ 一 ） ＋（Ｙ一 ） ：６． 容易验证，Ｐ。（一１，１）、Ｐ （１，一１）都在 圆周Ｃ上．若圆周Ｃ 还有不同于Ｐ．、Ｐ 的 有理点Ｐ，（ ，， ，），则 （ ，一 ） ＋（ｙ，一 ）。＝６， 即 ；＋Ｙ；一２＝２ （ ，＋）， ）． 因为左端为有理数，√２为无理数，所以， ３＋Ｙ３＝０．进而 ＝１．故 ３：±１，Ｙ３＝ Ｔ－１．－这与Ｐ，不同于Ｐ，、Ｐ 的假定矛盾． 综上所述， 的最小值为３． （熊斌顾鸿达 刘鸿坤 李大元 叶声扬命题） 2008年第6期37
竞赛之窗
2007年新知杯上海市高中数学竞赛
说明:解答本试卷不得使用计算器.
一、填空题(第1～4小题,每题7分,第5～8小题,每题8分,共60分)
1.方程
x1-1+2
x2-4+3
x3-9
(m,n)(m≥法则f:P(m,n)→P′0,n≥
0).若一段曲线在对应法则f下对应椭圆的
xy一段弧2+2=1(x≥0,y≥0),则这段曲线
ab
2
2
的方程是.
1(x+x2+x3)21
的实数解(x1,x2,x3)=
=
2.如图1,有一条长度为1的线段EF,其端点E、F在边长为36.已知f(n)=cos.
.计算:4f(1)f(3)…f(2n-1)=.
xn-1+xn-2πn7.已知数列{xn}满足
x1=0,x2=1,xn=
2
(n≥3).
.
的正方形ABCD的四边上滑动.当EF绕着正方形的四边滑动一周时,EF的中点M所形成的轨迹的长是.
3.复数数列{an}满足
则数列{xn}的通项公式xn=
图1
22
8.已知⊙M:(x-1)+(y-3)=4,过x轴上的点P(a,0)存在⊙M的割线PBA,使
a1=0,an=an-1+i(n≥2).
2
则它的前2007项的和为.4.已知α-l-β是大小为45°的二面
β角,C为二面角内一定点,且到半平面α、β的距离分别为2、6,A、B分别是半平面α、
内的动点.则△ABC周长的最小值为
.
5.已知平面直角坐标系中点与点的对应 正项(aii)共有110+28×2=166个,而
y
负项(-bii)共有110个,a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn均为两两不等的小于6的正有理
x
得PB=PA.则点P的横坐标a的取值范围是.
二、解答题(共60分)
9.(14分)对任意正整数n,用S(n)表示
111满足不定方程+=的正整数对(x,y)
x
y
n
1的正整数对有
xy2
(6,3),(4,4),(3,6)三个,则S(2)=3).求出使得S(n)=2007的所有正整数n.
10.(14分)已知关于x的方程32
xsinθ-(sinθ+2)x+6x-4=0
的个数(例如,满足
1+
1=
2i≠i-1数(注意到2,因为i为偶数;又2
i+1i+12i与i+1互质,i-1与i+1互质,也是
2
因为i为偶数;另外,i+1>100,因为i≥
xxxyyy
10),从而,a11,a22,…,amm,b11,b22,…,bnn两
2
2
2
2
两不相等.显然m=166,n=110满足“大于100且小于170,m-n≥50”.另外,也容易验
222
证:以上的表示方式都满足“ai+1-b1,ai+2-222
b2,…,ai+n-bn(i=0,1,…,m-n)也两两不相等”.
综上所述,以上所构造的2008的表示式完全符合题目要求,且表示式有无限多个.
(吴伟朝 广州大学数学与信息科学学院,510006)
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
38中等数学
有3个正实根.求
9sinθ-4sinθ+3u=
(1+cosθ)(2cosθ-6sinθ-3sin2θ+2)
的最小值.
11.(16分)如图2,
2
已知抛物线y=2px(p>0),AB是过焦点F的弦.如果AB与x轴所成的角为θ(0<θ
2
a4=-i,a5=-1+i,a6=-i,……
可见,当n≥3时,
-1+i,n为奇数;an=
-i,n为偶数.
故S2007
=0+i+(-1+i)+1002[(-i)+(-1+i)]=-1003+2i.4.102.如图4,分别作
π≤),求∠AOB.2
12.(16分)求满足
图2
如下条件的最小正整
数n:在⊙O的圆周上任取n个点A1,A2,
2
…,An,则在Cn个∠AiOAj(1≤i 至少有2007个不超过120°.β点C关于平面α、 的对称点P、Q.易证当A、B分别取直β线PQ与平面α、的交点时,△ABC周长最短,且这个周长最小值为 |PQ|==102.图4 参考答案 一、1.(2,8,18). 方程两边乘以2并整理得 x1+x2+x3-2 x1-1-4 x2-4- (22)2+122-2×)22×12cos(180°-45° x2a 2 5.y=b1-(0≤x≤a2). 6( x3-9=0.x1-1-1)+( 2 2 设曲线方程为y=f(x)(s≤x≤t),则曲(x,线上点P(x,f(x))对应的点P′ 2 2 配方得 x2-4-2)+ 2 f(x)) xy在椭圆的一段弧2+2=1(x≥0,y≥0) ab (] x3-9-3)=0 x2-4-2=0, 上.故 xf(x)=1(x≥0,f(x)≥0),2+2 ab 2 即 f(x)=b1-nx1-1-1=0, x3-9-3=0.解得x1=2,x2=8,x3=18.2.8+π. 如图3,当E、F在正方形顶点的两旁时,点M的轨迹是以该顶点为圆 11心、为半径的圆弧.其 24 他情况是在正方形边上的一线段,长度为2. π×故轨迹的长为2×4+23.-1003+2i. x2a (0≤x≤a2). n为偶数; 6. 1-2 n2 , 图3 1=8+π.2 由题设可得a1=0,a2=i,a3=-1+i, 12 ,n为奇数.2 当k∈Z+时, f(2k-1)f(2k+1) (2k-1)π(2k+1)π=cos?cos 44 π(-1)k1π+cos=cosk=. 222特别地,有 f(1)f(3)=f(5)f(7)=… ? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
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