常微分方程期末考试试卷
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一． 填空题 （30分）
1．
2．函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果
_______ 。
3． 若?(x)为毕卡逼近序列??n(x)?的极限，则有?(x)??n(x)? ______ 。 4．方程
5．函数组et,e?t,e2t的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若xi(t)(i?1,2,?,n)为齐线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若?(t)是x'?A(t)x的基解矩阵，则向量函数?(t)= _______是
x'?A(t)x?f(t)的满足初始条件?(t0)?0的解；向量函数?(t)= _____
??P(x)dxdy ，其通?P(x)y?Q(x) 称为一阶线性方程，它有积分因子 e?dx解为 _________ 。
dy?x2?y2定义在矩形域R:?2?x?2,?2?y?2上，则经过点dx（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
是x'?A(t)x?f(t)的满足初始条件?(t0)??的解。
8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,?,vn，它们对应的特征值分别为?1,?2,??n，那么矩阵?(t)= ______ 是常系数线性方程组
x'?Ax的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点(x*,y*)，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）
10．求方程4x2y2dx?2(x3y?1)dy?0的通解。
dy11．求方程?edx?x?0的通解。
dxdy?dy??x2?y212．求初值问题?dx R:x?1?1,y?1的解的存在区间，并求
??y(?1)?0第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 13．求方程x''?9x?tsin3t的通解。 14．试求方程组x'?Ax?f(t)的解?(t).
?et???1??12? ?(0)???,A???,f(t)??? 143?????1?15．试求线性方程组
三．证明题 （10分）
16．如果?(t)是x'?Ax满足初始条件?(t0)??的解，那么
dxdy?2x?7y?19,?x?2y?5的奇点，并判断奇点dtdt的类型及稳定性。
?(t)??expA(t?t0)??
常微分方程期终考试试卷答案
一．填空题 （30分）
1．y?e?P(x)dx?P(x)dx(?Q(x)e?dx?c)
2．f(x,y)在R上连续，存在L?0，使f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，对于
任意(x,y1),(x,y2)?R
MLnn?1h 3．
(n?1)! 4．?et 5．etet11?x? 44e?t?e?te?tne2t2e2t 4e2t? 6．x(t)??cixi(t)?x(t)
i?1 7．??(t)??1(s)f(s)ds ?(t)??1(t0)???(t)???1(s)f(s)ds
t0t0tt 8．e?1tv1,e?2tv2,?,e?ntvn 9．X(x,y)?0,Y(x,y)?0
??二．计算题 （60分）
10．解：
?M?N?8x2y,?6x2y ?y?x?M?N?11??dy?1?y?x2y?? 积分因子?(y)?e?y2
?M2y 两边同乘以?(y)后方程变为恰当方程：4xydx?2y(x3y?1)dy?0
4?u?M?4x2y3 两边积分得：u?x3y2??(y)
3?x23223?12??u32'32 ?2xy??(y)?N?2xy?2y2
?y12111 得：?(y)??4y
因此方程的通解为：y(x3y?3)?c
11．解：令
12dy?y'?p 则p?ep?x?0 dx 得：x?p?ep
那么y??pdx??p(1?ep)dp
p2?pep?ep?c ?2?x?p?ep? 因此方程的通解为：? p2p?(p?1)e?c?y?2?
12．解：M?maxf(x,y)?4
(x,y)?R x?x0?1?a,y?y0?1?b，h?min(a, 解的存在区间为x?x0?x?1?h? 即?b1)? M41 453?x?? 44 令?0(x)?y0?0
x31? ?1(x)?0??xdx??133x2?2x312?x3x7x4x11???? ?2(x)?0???x?(?)?dx?
?133?36318942?x 又
?f??2y?2?L ?yMLnn?11h? 误差估计为：?2(x)??(x)? (n?1)!24
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