新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系冲关训练

新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第8节直线与圆

锥曲线的位置关系冲关训练

1．已知抛物线y＝2x，过点(－1,2)作直线l，使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

解析：D [因为点(－1,2)在抛物线y＝2x的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(－1,2)的切线，过点(－1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(－1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点，故选D.]

2．直线y＝x＋1截抛物线y＝2px所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A．y＝－2x

C．y＝－2x或y＝6x

??y＝x＋1，

解析：C [由?2

??y＝2px2

2

2

2

2

2

B．y＝6x D．以上都不对

2

得x＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴26＝

2p－2

2

2

1＋1·

2

x＋x2

2

－4x1x2＝2·

2

2

－4.解得p＝－1或p＝3，

∴抛物线方程为y＝－2x或y＝6x.故选C.]

3．过点P(1,1)作直线与双曲线x－＝1交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样

2的直线( )

A．存在一条，且方程为2x－y－1＝0 B．存在无数条

C．存在两条，方程为2x±(y＋1)＝0 D．不存在

121222

解析：D [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1－y1＝1，x2－y2＝

221，

11

两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)－ (y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝

222，

故所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

2

y2

y＝2x－1，??

联立?212

x－y＝1?2?

可得2x－4x＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存

2

在．故选D.]

22

4．(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与

3

C交于M，N两点，则FM·FN＝( )

A．5 B．6 C．7 D．8 解析：D [如图焦点F(1,0)，

→→

2

直线的方程为y＝(x＋2)，

3将其代入y＝4x得：x－5x＋4＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝5，x1x2＝4，

→→

∴FM·FN＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 22

＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋(x1＋2)·(x2＋2)

3313125

＝x1x2－(x1＋x2)＋ 99913125

＝×4－×5＋＝8.] 999

2

2

x2y2

5．(2019·浙江百校联盟联考)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、

abB，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )

312A. B. C. 523

3

D. 4

解析：A [因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|＝，因为四边形

bcabca?a＋c，bc?，代入椭圆方程得a＋cFAMN是平行四边形，所以点M的坐标为?2a?4a?2?

32

所以5e＋2e－3＝0，又0

5

2

c2b2

＋22＝1，ab6．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

2

??y＝4x解析：设直线AB的方程为y＝k(x－1)，由?

?y＝kx－1?

2

得kx－(2k＋4)x＋k＝0，设A(x1，y1)，

2222

B(x2，y2)．

2k＋4

则x1＋x2＝2，x1·x2＝1.

2

k∵∠AMB＝90°，∴kMA·kMB＝－1 解

y1－1y2－1

·＝－1. x1＋1x2＋1

2

化简得k－4k＋4＝0，解得k＝2. 答案：2

7．过点M(2，－2p)作抛物线x＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．

解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，

2

xpx1x1x21

切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，

pp2px1x212222

于是有－2p＝×2－，即x1－4x1－4p＝0；同理有x2－4x2－4p＝0，因此x1，x2是方程

p2px2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋

22x2x1＋x22－2x1x216＋8p1＋x2

y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.

2p2p2p答案：1或2

8．(2019·泉州市模拟)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点F2

43作一条直线l交椭圆与P、Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是________________________________________________________________________．

解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ内切圆的半径的最大值即可．

设直线l方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立得(3m＋4)y＋6my－9＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，

2

2

x2y2

y2)，则y1＋y2＝－

6m9

，y1y2＝－2， 2

3m＋43m＋4

1

于是S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝

2

y1＋y2

2

－4y1y2＝12

m2＋12

3m＋4

2

.

m2＋1∵2

3m＋4

2

11

＝≤，

1162

9m＋9＋2＋6

m＋1