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2.2.1 第2课时 分析法
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：
b2－ac＜3a索的因应是( )
A．a－b＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 解析：要证b－ac＜3a， 只需证b－ac＜3a， 只需证b－a(－b－a)＜3a， 只需证2a－ab－b＞0， 只需证(2a＋b)(a－b)＞0， 只需证(a－c)(a－b)＞0. 故索的因应为C. 答案：C
1x2．证明命题“f(x)＝e＋x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
e11xx∵f(x)＝e＋x，∴f′(x)＝e－x. ee1x∵x>0，∴e>1,0 e1x∴e－x>0，即f′(x)>0， e ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( ) A．综合法 C．反证法 B．分析法 D．以上都不是 2 2 2 2 2 2 2 B．a－c＞0 D．(a－b)(a－c)＜0 解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A. 答案：A 3．要使a＋b－ab－1≤0成立的充要条件是( ) A．|a|≥1且|b|≥1 C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 2 2 22 2 2 2 2 22 B．|a|≥1且|b|≤1 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0 2 2 2 2 2 解析：a＋b－ab－1≤0?a(1－b)＋(b－1)≤0?(b－1)(1－a)≤0?(a－1)(b－1)≥0?(|a|－1)(|b|－1)≥0. 答案：C 4.2＋6与3＋5的大小关系是( ) 小初高教育精品资料 小初高教育精品资料 A.2＋6≥ 3＋5 B.2＋6≤ 3＋5 C.2＋6＞3＋5 D.2＋6＜3＋5 解析：要想确定2＋6与3＋5的大小， 只需确定(2＋6)与(3＋5)的大小， 只需确定8＋212与8＋215的大小， 即确定12与15的大小，显然12＜15. ∴2＋6＜3＋5. 答案：D 5．若x，y∈R＋，且x＋y≤ax＋y 恒成立，则a的最小值是( ) A．22 C．2 解析：原不等式可化为 B.2 D．1 2 2 x＋ya≥＝x＋yx＋yx＋y2 ＝2xy1＋ x＋y2xy1＋的最大值即可． x＋y要使不等式恒成立，只需a不小于 ∵ 2xy1＋≤2，当x＝y时取等号，∴a≥2， x＋y∴a的最小值为2.故选B. 答案：B 6．设n∈N，则n＋4－n＋3________ n＋2－n＋1(填＞、＜、＝)． 解析：要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小． 即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1) ＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号， ∵(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2) ＝2[22 2 n＋n＋ 2－n＋n＋ ] ＝2(n＋5n＋4－n＋5n＋6)＜0. ∴n＋4－n＋3＜n＋2－n＋1. 答案：＜ 7.如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足 小初高教育精品资料 小初高教育精品资料 ________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)． 解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C. 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD， 即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. 答案：AC⊥BD(答案不唯一) 122 8．已知方程(x－mx＋2)(x－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m2－n|＝________. 1112 解析：不妨设是x－mx＋2＝0的一根，另一根为a，则m＝a＋，a＝2. 222设x－nx＋2＝0的两根为b，c, 则n＝b＋c，bc＝2. 193 由，b，c，a成等比数列及a＝4可得b＝1，c＝2，从而m＝，n＝3，|m－n|＝. 2223答案： 2 1＋ab＋bc＋ca9．已知0＜a≤1,0＜b≤1,0＜c≤1，求证：≥1. a＋b＋c＋abc证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， 1＋ab＋bc＋ca∴要证≥1， a＋b＋c＋abc只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc， 即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. ∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc) ＝(1－a)(1－b)(1－c)， 又a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0. ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立， 1＋ab＋bc＋ca即证明了≥1. a＋b＋c＋abc10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大． 证明：设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为π()，正方形的面积为()， 2π4因此本题只需证明π()＞(). 2π4 2 l2 l2 l2 l2 小初高教育精品资料 小初高教育精品资料 πll411 为了证明上式成立，只需证明2＞，两边同乘以正数2，得＞，因此，只需证明 4π16lπ44＞π. 上式显然成立，故π()＞(). 2π4 [B组 能力提升] 1xa＋b2ab1．已知a，b为正实数，函数f(x)＝()，A＝f()，B＝f(ab)，C＝f()，则 22a＋b2 2 l2 l2 A，B，C的大小关系为( ) A．A≤B≤C C．B≤C≤A B．A≤C≤B D．C≤B≤A 1xa＋b解析：因为函数f(x)＝()为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，ab， 222aba＋ba＋b2aba＋b的大小，因为≥ab，两边同乘ab得：ab·≥ab，即ab≥，故≥aba＋b22a＋b2≥ 2ab，∴A≤B≤C. a＋b答案：A 2．设甲：函数f(x)＝|x＋mx＋n|有四个单调区间，乙：函数g(x)＝lg(x＋mx＋n)的值域为R，那么甲是乙的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 22 2 B．必要不充分条件 D．以上均不对 2 解析：对甲，要使f(x)＝|x＋mx＋n|有四个单调区间，只需要Δ＝m－4n>0即可；对乙，要使g(x)＝ lg(x＋mx＋n)的值域为R，只需要u＝x＋mx＋n的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m－4n≥0， 所以甲是乙的充分不必要条件． 答案：A 333 3．要证a－b 解析：要证a－b 即a－b－3ab＋3ab 3232333 即3ab－3ab>0，即ab(a－b)>0. 2 2 2 小初高教育精品资料
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