复变函数报告

复变函数报告

一些复数运算的 MATLAB实现 个人信姓名: 汪震 专业: 信息与计算科学 学号: 201300702055 息 一些复数运算的MATLAB实现

内容提要:复变函数中的很多运算都能在MATLAB中进行，而且变得非常简单，只

需要调用相应的函数或者编写程序代码。这里将选取复变函数中一些常用的运算：模、辐角、幂次、方根、留数、简单积分计算等介绍其在MATLAB中的计算方法。同时，选取了课本上的一些例题习题进行求解展示。

关键词 MATLAB 复数基本运算 留数 积分运算

0 MATLAB简介

MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。MATLAB的功能十分强大，其自带的各种工具箱能够解决很多领域的数学问题，因此应用非常广泛。

1 复数的生成 1.1 复数的输入

在MATLAB中，复数的单位为i和j，即：i = j =?1。在命令窗口中其值显示为: 0 + 1.0000i

产生复数的方法有两种：

1. 由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；

?i)，其中r为复数z的模，?为复2. 由z?r?exp(i??)产生，可简写成z?r?exp(数z辐角的弧度值。

1.2 复数矩阵的输入

MATLAB的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。复数矩阵的输入方法有两种：

1. 按照实数矩阵的方式，逐个输入元素。同一行元素间用空格或逗号分开，不同行元素用分号隔开。

2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式。 例1

>> A=[i,3-2i;-6+5i,-j] A =

0 + 1.0000i 3.0000 - 2.0000i -6.0000 + 5.0000i 0 - 1.0000i

>> B=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*i B=

1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i

2 复数的运算

2.1 复数的实部与虚部

复数的实部和虚部用命令real和imag提取。 格式：real (z) %返回复数z的实部 imag (z) %返回复数z的虚部

2.2 共轭复数

复数的共轭复数由命令conj实现。

格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数

2.3 复数的模和辐角

求复数的模和辐角由函数abs和angle实现。 格式：abs (z) %返回复数z的模

angle (z) %返回复数z的辐角

例2 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角。 （1）

13i(1?3i)(9?4i)175 （2）? （3） （4）4i?i?i 1?5ii4?i6i解：可以使用相应的函数指令逐个对上面各题进行求解。更方便地，将上述4个复数

组成复矩阵一并处理。

在MATLAB编辑器中建立M文件Example2.m：

format rat %有理数表示 Z=[1/(1+5i),3/i+i/(4-i),(1+3i)*(9-4i)/2i,4*i^17-i^7+i]

Real=real(Z) %求实部 Imag=imag(Z) %求虚部

Conj=conj(Z) %求共轭复数 Abs=abs(Z) %求模 theta=angle(Z) %求辐角 运行结果为： Z =

1/26-5/26i -1/17-47/17i 23/2-21/2i 0+6i

Real =

1/26 -1/17 23/2 0

Imag =

-5/26 -47/17 -21/2 6

Conj =

1/26+5/26i -1/17+47/17i 23/2+21/2i 0-6i Abs =

1020/5201 1037/375 2258/145 6

theta =

-537/391 -2369/1488 -1181/1596 355/226

2.4 复数的乘除法

运算符：* %乘法：模相乘，辐角相加 / %除法：模相除，辐角相减 例3

>> z1=2*exp(pi/6i) >> z1*z2 z1 = ans =

1.7321 - 1.0000i 5.6943 -12.7896i >> z2=7*exp(pi/5i) >> z1/z2 z2 = ans =

5.6631 - 4.1145i 0.2841 + 0.0299i >> z3=7*exp(pi/5*i) z3 =

5.6631 + 4.1145i

注意：1/5i = 1/(5*i)，而1/5i≠1/5*i = (1/5)*i 【课本习题】（P10，12） (a)-2i(3+i)(2+4i)(1+i) (b)

(3?4i)(?1?2i)

(?1?i)(3?i)解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example3.m： clc

format rat %有理数表示 a=-2i*(3+i)*(2+4i)*(1+i)

b=(3+4i)*(-1+2i)/((-1-i)*(3-i))

Conjugate=conj([a,b]) %求共轭复数 运行结果为： a =

32+24i b =

2-3/2i Conjugate =

32-24i 2+3/2i

2.5 复数的平方根

函数：sqrt

格式：sqrt (z) %返回复数z的平方根值

2.6 复数的幂运算

运算符：^

格式： z^n %返回复数z的n次幂

例4 计算：z1?(1?i) z2?8?1 z3?(1?i) 解：在MATLAB命令窗口键入： >> z1=(1+i)^5 z1 =

-4.0000 - 4.0000i >> z2=(-1)^(1/8) z2 =

0.9239 + 0.3827i %取k = 0之值 >> z3=(1-i)^(1/3) z3 =

1.0842 - 0.2905i %取k = 0之值 【课本习题】（P13，41） （i）(?16) （j）(?8?83 i)1/4

解：在MATLAB编辑器中建立M文件Example4.m： clc

z1=(-16)^(1/4)

z2=(-8-8*sqrt(3)*i)^(1/4)

%matlab求解时只能给出n=0的值 运行结果为： z1 =

1393/985+ 1393/985i %取k = 0之值 z2 =

1351/780-1i %取k = 0之值 2.7 复数的指数运算和对数运算

函数：exp %指数运算 log %对数运算

格式：exp (z) %返回复数z的以e为底的指数函数值 log (z) %返回复数z的以e为底的对数函数值

2i例5 计算：z1?e3 z2?5 z3?(1?i) z4?log(?3?4i) 解：在MATLAB窗口键入： >> z1=exp(1+i*pi/3) z1 =

1.3591 + 2.3541i

>> z2=exp(i*log(5)) %或 >> z2=5^i z2 =

-0.0386 + 0.9993i

1?i5131/4?i