正方形与全等模型（含答案）

考点： 专题： 分析： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质． 数形结合． 延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，先证明RT△ACB≌RT△BFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案． 解答： 解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF， 则可得OM是梯形ACFD的中位线， ∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°， ∴∠CAB=∠FBD， 在RT△ACB和RT△BFD中， ∵， ∴RT△ACB≌RT△BFD， ∴AC=BF，BC=DF， 设AC=x，则OM=，CM==， =在RT△OCM中，OM+CM=OC，即2（2222）点评： =18， 解得：x=4，即AC的长度为4． 故选C． 此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大． 16．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，求证：∠FCN=45°；

（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定． 证明题；开放专题： 分析： 解答： 型． （1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE； （2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH， 得到CH=BE=FH，即可得证． （3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证． 证明：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE； （2）过F作BN的垂线，设垂足为H， ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF， ∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH， ∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°； （3）在AB上取AQ=BE，连接QD， ∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE， ∵△ABE≌△EHF， ∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ， ∴AG、QD平行且相等， 又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等， ∴四边形DQEF是平行四边形． ∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．