29. 证明
29. 证明除奇素数p的余数为1.
除奇素数p的余数为1.
30. 将一根10厘米长的针随机扔到格子纸上。 纸上相邻线之间的距离也是10厘米。 重复N（比如一百万）次。 问：多少次（在百分之几的误差内）针会落下与纸上的一条线相交？
人们可以用N = 100而不是一百万次投掷来进行 这个实验。 （我十岁的时候做过这个实验。） 这个问题的答案是令人惊讶的：(2/π)N. 而且，即使对于长度为a·10 cm的弯曲针，在N次投射中观察到的相交的次数也约为(2a/π)N. 由此得到
这个问题的答案是令人惊讶的：(2/π)N. 而且，即使对于长度为a·10 cm的弯曲针，在N次投射中观察
到的相交的次数也约为(2a/π)N. 由此得到
31. 有些多面体只有三角形面。 例如某些柏拉图立体： （正）四面体（4面），八面体（8面）和二十面体（20面）。 二十面体的面全等，有12个顶点，有30个边。对于任何这样的立体图形（具有三角形面的有界凸多面体），面的个数是否等于顶点个数的两倍再减去四？
四面体
八面体
二十面体
32. 还有一个柏拉图立体（总共有5个）：十二面体。 它是一个凸多面体，具有12（正）五边形面，20个顶点和30条边（其顶点是二十面体的各个面的中心）。将五个立方体内接于十二面体内，其顶点也是十二面体的顶点，其边是十二面体的面的对角线。 （立方体有12条边，每条边落在十二面体的一个面上）。[ 这个构造由开普勒发明，用来描述他的行星模型。]
33. 两个正四面体可以内接于一个立方体中，使得它们的顶点也是立方体的顶点，它们的边是立方体面的对角线。 描述这两个四面体的相交部分。正方体体积和这两个四面体相交部分体积的比值是多少？
33(之二).给定正方体边上三个点，构造出通过这三点的平面与正方体的截面。[ 绘制平面与立方体相交的多边形。]
34. 四面体有多少个对称？ 立方体？ 八面体？ 二十面体？ 十二面体？ 图形的对称是这个图形保持长度的变换。这些对称中有多少个是旋转，有多少个是平面的反射（对上面五种多面体分别作答）？
35. 有多少种方法可以用六种颜色（1，...，6）来涂相似立方体的六个面（每个面一种颜色），以使得到的彩色立方体中没有两个是相同的（也就是说，没有两个可以通过旋转变换变成彼此）？
36. 有多少种不同的方法来排列n个对象？ 对于n = 3，有6种方式：（1，2，3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,1,2），（ 3, 2, 1）。 如果对象的个数是n = 4？ n = 5？ n = 6？ n=10呢？
37. 一个立方体有4个主对角线（连接其相对的顶点）。 通过旋转立方体能得到这四个主对角线的多少种不同排列？
38. 一些整数和的立方减去这些整数的立方和。得到的差总能被3整除吗？
39. 与38题类似。问一些整数和的5次方减去这些整数的5次方和，得到的差总能被5整除吗？一些整数和的7次方减去这些整数的7次方和，得到的差总能被7整除吗？
40. 计算下式的和（误差不超过正确答案的1%）
41. 如果两个多边形具有相等的面积，则可以将它们切割成有限个的子多边形，使得重新排列这些子多边形可以得到第一个和第二个多边形。 证明这个结论。[ 对于空间体而言情况并非如此：立方体和等体积的四面体不能通过这种方式得到！]
42. 一张方格纸上的四个格子点是平行四边形的顶点。 事实上，在这个平行四边形的边上或其内部没有其它格子点。 证明这个平行四边形的面积等于方格纸的一个方块的面积。
43. 假设在问题42中，一个平行四边形内部有a 个格点，边上有b个格点。 求这个平行四边形的区域。（译者注：平行四边形的顶点不算做边上的点，见上图。）
44. 在三维平行六面体中有类似与43题的结果吗？
45. 斐波那契（“兔”）数是序列（a1=1 ），1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，... ，对于任何n = 1, 2，...，. an+2=an+1+an求 a100和 a99的最大公约数。
46. 沿不相交的对角线切割能将凸n边形切割成三角形。 不同的切割方式的个数称为卡塔兰 (Catalan) 数，记为 c(n)。 例如，c(4)= 2，c(5)= 5，c(6)= 14。求 c(10)？
相关推荐：
loading