小学+初中+高中+努力=大学
考点17 正、余弦定理及解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理 1．正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc==.正弦定理对任意三角形都成立． sinAsinBsinC2．常见变形 （1）
sinAasinCcsinBb?,?,?,asinB?bsinA,asinC?csinA,bsinC?csinB; sinBbsinAasinCcabca?ba?cb?ca?b?c??????; sinAsinBsinCsinA?sinBsinA?sinCsinB?sinCsinA?sinB?sinC（2）
（3）a:b:c?sinA:sinB:sinC; （4）正弦定理的推广：3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
abc===2R，其中R为△ABC的外接圆的半径. sinAsinBsinC小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
二、余弦定理 1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
2 a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB，c2?a2?b?2abcosC.2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2. cosA?,cosB?,cosC?2bc2ca2ab3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤
小学+初中+高中+努力=大学
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三、解三角形的实际应用 1．三角形的面积公式
设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.
1ah (h为BC边上的高)； 2111（2）S?bcsinA?acsinB?absinC；
2221（3）S?r(a?b?c)(r为三角形的内切圆半径)．
2（1）S?2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语 （1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏西等其他方向角类似．
小学+初中+高中+努力=大学
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（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 4．解三角形实际应用题的步骤
考向一 利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在△ABC中，A?B?C?π ，其变式有：A?B?π?C，（2）三角形中的三角函数关系：
A?BπC ??等．
222sin(A?B)?sinC； cos(A?B)??cosC；
sinA?BCA?BC?cos； cos?sin. 2222
典例1 在△ABC中，内角
所对的边分别为，若，，则
c的值为 a小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
A．1 B．
33 C．5．75 D7 【答案】D
典例2 已知△ABC的内角的对边分别为
,且
.
(1)求； (2)若
,线段
的垂直平分线交
于点,求
的长.
【解析】(1)因为
,所以
.
由余弦定理得 ，
又，所以. （2）由（1）知,
根据余弦定理可得，
所以
.
由正弦定理得，即252?22sinB，解得.
2从而cosB?255. 小学+初中+高中+努力=大学
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设的中垂线交于点,
，所以BD?因为在Rt△BDE中,
BE15， ??cosB2525.
因为为线段的中垂线，所以
1．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且A．π 6π 3上一点满足，求边，求
.
的长；
，
2sinC?sinBacosB，则A= ?sinBbcosAπB． 4D．C．2π 32．在△ABC中，边（1）若（2）若
.
考向二 三角形形状的判断
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A?B?C?π这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.
典例3 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，满足cosAcosC?sinAsinC?cosB?3，且2a,b,c成等比数列.
（1）求角B的大小； （2）若
ac2b??,a?2,试判断三角形的形状. tanAtanCtanB小学+初中+高中+努力=大学
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（2）由
acosAccosC2bcosBac2b,得, ????sinAsinCsinBtanAtanCtanB2ππ,所以A?C?, 33利用正弦定理可得cosA?cosC?2cosB?1, 又因为A?C?所以△ABC是等边三角形.
3．在△ABC中，，，分别为角，，所对的边，若A．一定是锐角三角形 C．一定是斜三角形
，则△ABC
B．一定是钝角三角形 D．一定是直角三角形
考向三 与面积、范围有关的问题
（1）求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
（2）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
典例4 在△ABC中，角（1）求角；
的对边分别为
，且
．
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
（2）若
，求△ABC面积的最大值．
，
，
，解得
．
，即
．
（当且仅当
取等号），∴
，即
， ，
【解析】（1）由已知和正弦定理得
（2）由余弦定理得：整理得：∵
，
故△ABC面积的最大值为
．
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
典例5 在△ABC中，（1）若（2）若
，求
，是
边上的一点.
的长；
，求△ABC周长的取值范围.
，
×cos∠DAC＝3,
【解析】（1）在△ADC中，AD＝1，所以
＝
cos∠DAC＝1×2
所以cos∠DAC＝
2.
22由余弦定理得CD?AC?AD?2AC?AD?cos?DAC＝12＋1－2×2所以CD＝
.
×1×＝7，
（2）在△ABC中，由正弦定理得
ABBCAC23????4， sinCsinAsinBsin2π3，
ππ??3??0?A?,?sin?A????,1?.
?332????小学+初中+高中+努力=大学
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，故△ABC周长的取值范围为
4．在△ABC中，内角（1）求； （2）当
时，求
的取值范围． 所对的边分别是
，已知
.
.
5．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，且△ABC的面积（1）求；
（2）若、、成等差数列，△ABC的面积为，求.
考向四 三角形中的几何计算
.
几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.
典例6 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且DA?DC，已知B?π，BC?1. 4
（1）若△ABC是锐角三角形，DC?（2）若△BCD的面积为
6，求角A的大小； 31，求AB的长. 66π，BC?1，DC?，
34【解析】（1）在△BCD中，B?由正弦定理得
BCCD，解得sin?BDC??sin?BDCsinB1?22?3，
263小学+初中+高中+努力=大学
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所以?BDC?π2π或. 332π. 3因为△ABC是锐角三角形，所以?BDC?又DA?DC，所以A?π. 321π1， ?BC?BD?sin?，解得BD?324622255π??，解得CD?， ?1??2?1?932934（2）由题意可得S△BCD?由余弦定理得CD2?BC2?BD2?2BC?BD?cos则AB?AD?BD?CD?BD?5?2. 3所以AB的长为
5?2. 3
6．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?b(sinC?cosC).
（1）求角B的大小； （2）若A?π，D为△ABC外一点，DB?2，DC?1，求四边形ABCD面积的最大值. 2考向五 解三角形的实际应用
解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦小学+初中+高中+努力=大学
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定理求解.
典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15???BAC?15??方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60?方向上，此时测得山顶P的仰角为60?，若山高为
23千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？
（2）在△BCD中，由余弦定理得CD?6，
在△BCD中，由正弦定理得CDBC2??sin?CDB?, sin?DBCsin?CDB2所以山顶位于D处南偏东45?方向.
7．某新建的信号发射塔的高度为AB，且设计要求为：29米?AB?29.5米.为测量塔高是否符合要求，小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C,D，测得?BDC?60?， ?BCD?75?，
CD?40米，并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE?1米，则发射塔高
AB?
?C．?40A．202?1米
?2?1?米
?D．?4022B．206?1米
?6?1?米
考向六 三角形中的综合问题
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“a?b,ab,a?b”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.
典例8 在△ABC中，已知C?（1）求A的值；
π，向量m?(sinA,1)，n?(1,cosB)，且m?n. 6uuuruuur（2）若点D在边BC上，且3BD?BC，AD?13，求△ABC的面积．
【解析】（1）由题意知m?n?sinA?cosB?0，又C?π5π?A)?0，，A?B?C?π，所以sinA?cos(66即sinA?又0?A?π31cosA?sinA?0，即sin(A?)?0.
6225πππ2πππ，所以A??(?,)，所以A??0，即A?. 666366uuuruuuruuruuuruuurπ2π（2）设|BD|?x，由3BD?BC，得|BC|?3x，由（1）知A?C?，所以|BA|?3x,B?. 632π222在△ABD中，由余弦定理，得(13)?(3x)?x?2?3x?xcos，解得x?1，所以AB?BC?3，
3所以S△ABC?112π93. BA·BC·sinB??3?3?sin?2234典例9 △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 小学+初中+高中+努力=大学
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（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； （2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 【解析】（1）因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. 因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b＝ac.
2
a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1由余弦定理得cos B＝＝≥＝，
2ac2ac2ac2
当且仅当a＝c时等号成立． 所以cos B的最小值为
1. 2
8．已知函数（1）求函数
的解析式；
（）的图象上相邻的最高点间的距离是.
（2）在锐角△ABC中，内角
满足，求的取值范围.
1．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a＝6，b＝3，B＝60°，则A= A．45°
C．135°
B．45°或135 D．60°或120°
2．在△ABC中，若tanA·tanB＜1，则该三角形一定是 A．锐角三角形 C．直角三角形 3．在△ABC中，A．C．
，
B．钝角三角形 D．以上都有可能
，则角的取值范围是
B．D．
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4．△ABC中，AB?2，BC?10，cosA?1，则AB边上的高等于 4B．
A．315 4315 2，则
3 4C．D．3
5．已知△ABC的面积为，A． C．
的最小值为
B． D．
，且
，那
6．设△ABC的三个内角么△ABC外接圆的半径为 A．2 C．
所对的边分别为，如果
B．4 D．1
的对边分别为
，若
B．D．
所对的边分别是
，B．8 D．4
，
，则
，且
，则
，
，则
7．已知△ABC的内角A．2 C．
8．若△ABC的三个内角A．10 C．7
9．已知△ABC的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若A．2 C．
B．4 D．
10．在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC?43，则△ADC的面积的最大
值为 .
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向
上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD?___________m.
小学+初中+高中+努力=大学
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12．在△ABC中，角，，的对边分别为，，，已知
（1）求； （2）求
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m?(b,3a)，n?(cosB,sinA)，
且m∥n．
（1）求角B的大小；
（2）若b?2，△ABC的面积为3，求a?c的值．
的值．
，
，
．
小学+初中+高中+努力=大学
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14．如图所示，在△ABC中, 点D为BC边上一点，且BD?1,E 为AC的中点,AE?273,,cosB?7 2?ADB?2π. 3
（1）求AD的长； （2）求△ADE的面积.
15．在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差数列． （1）求B的值；
（2）求2sinA?cos?A?C?的范围．
2
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
16．已知函数
（1）当
时，求
的值域；
求△ABC的面积.
（2）在△ABC中，若
1．（2017山东理科）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满
足sinB(1?2cosC)?2sinAcosC?cosAsinC，则下列等式成立的是 A．a?2b C．A?2B 2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在△ABC中，cosA．42 C．29
B．b?2a D．B?2A
C5，BC?1，AC?5，则AB? ?25B．30 D．25 3．（2018新课标全国Ⅲ理科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为
a2?b2?c2，则C? 4πA．
2πC．
4B．D．
π 3π 64．（2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面
积是______，cos∠BDC=_______．
5．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5. （1）求cos?ADB； 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
（2）若DC?22，求BC.
a26．（2017新课标全国Ⅰ理科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
3sinA（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.
7．（2017新课标全国Ⅱ理科）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin?A?C??8sin2（1）求cosB；
（2）若a?c?6，△ABC的面积为2，求b．
8．（2018北京理科）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–（Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高．
B． 21． 7小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
a?5,c?6，sinB?9．（2017天津理科）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a?b，
（1）求b和sinA的值； （2）求sin(2A?)的值．
3． 5π4
变式拓展 1．【答案】C
2．【解析】（1）∵在△ABC中，由余弦定理可得，所以
.
，
，∴在Rt△ABD中，
，
，
，∴
，
（2）在△ACD中，由正弦定理可得小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
∵∵∵
，∴，∴
，∴
，∴
，
，
，
∴化简得
，∴
，即
，
，
∵，∴.
3．【答案】D 【解析】已知整理得：
，
，利用正弦定理化简得：，
，即
.
，
则△ABC为直角三角形.故选D． 4．【解析】（1）由正弦定理可得：又所以则因为因为
，所以，所以
，
， .
，
，
，
5．【解析】（1）∵
小学+初中+高中+努力=大学
，∴
，即
，
小学+初中+高中+努力=大学
∵，∴.
， ，
（2）∵、、成等差数列，∴两边同时平方得：
又由（1）可知：∴∴
，
， ，
，
由余弦定理得，∴
.
，得，
6．【解析】（1）在△ABC中，由a?b(sinC?cosC)，得sinA?siBn(Cs?inCc，o即
sin(B?C)?sinB(sinC?cosC)，?cosBsinC?sinBsinC，又sinC?0，∴cosB?sinB，即
tanB?1，∵B?(0,π)，∴B?π. 4（2）在△BCD中，BD?2，DC?1，
?BC2?12?22?2?1?2?cosD?5?4cosD.
π，∴△ABC为等腰直角三角形， 21115则S△ABC??BC??BC?BC2??cosD， 2244155π又S△BDC??BD?DCsinD?sinD，?S四边形ABCD??cosD?sinD??2sin(D?)，
24443π5故当D?时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为?2. 44又A?7．【答案】A
【解析】过点E作EF?AB，垂足为F，则EF?BC,BF?CE?1米，?AEF?30?， 在△BDC中，由正弦定理得BC?CD?sin?BDC40?sin60???206米.
sin?CBDsin45?3?202米. 3在Rt△AEF中，AF?EF?tan?AEF?206?AF?BF?1?202米，符合设计要求.故选A． 所以AB? 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
8．【解析】（1）因为函数由所以（2）由
图象上相邻的最高点间的距离是，所以，
，得.
得
，即
，
，
，
.
则，
又，所以.
， ，
因为△ABC是锐角三角形，所以则故
，所以.
考点冲关 1．【答案】A
【解析】∵a＝6，b＝3，B＝60°，∴由正弦定理可得又a 【解析】由已知条件，得 63?，∴sinA＝sinAsin60?6?32=2.32sinAsinBcos(A?B)cosC??1,即?0,即?0, cosAcosBcosAcosBcosAcosB说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负．因此△ABC一定是钝角三角形． 3．【答案】A 【解析】因为 ABBC?，所以sinCsinA，所以，又，则必为锐角，故. 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 5．【答案】A 【解析】由题意知△ABC的面积为，且所以所以6．【答案】D 【解析】因为 ，所以 ， 的最小值为，故选A． ，所以 ，即时取得等号， ， ，当且仅当 即，所以，所以， 因为 ，所以由正弦定理可得△ABC的外接圆半径为R?1a13????1，故选D． 2sinA2327．【答案】D 【解析】∵∴ 是三角形的内角，∴ ， ， 由 得b?asinB?sinA1?5665?56，故选D． 33958．【答案】B 【解析】由题意知 ,即 ，即 ，由正弦定理和余弦定理得： ，即 ，则 ，即，故选B． 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 9．【答案】A 【解析】△ABC的面积为则由 ，可得 . . 化简得所以 .所以 ，即 .故选A． ，所以，解得或（舍去）. 10．【答案】43 【解析】如图. AD2?DC2?AC2AD2?DC2?481在△ACD中，cos?ADC????， 2AD?DC2AD?DC2整理得AD2?DC2?48?AD?DC?2AD?DC， ∴AD?DC?16，当且仅当AD=DC时取等号， ∴△ADC的面积S?13AD?DCsin?ADC?AD?DC?43， 24∴△ADC的面积的最大值为43． 12．【解析】（1）在△ABC中，由余弦定理得 解得 ． ， 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 （2）在△ABC中，由 得， ∴， 在△ABC中，由正弦定理得 ，即32， ?310sinB10∴又 ， ，故 ， ∴， ∴ 13．【解析】（1）∵m∥n，∴bsinA?3acosB， 由正弦定理，得sinBsinA?3sinAcosB， ∵sinA?0，∴sinB?3cosB，即tanB?3， ∵0?B?π，∴B?． π． 3131，解得ac?4， acsinB，得3?ac?222（2）由三角形的面积公式S△ABC?由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得4?a2?c2?2ac?故a?c?4． 1?(a?c)2?3ac?(a?c)2?12， 2 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 （2）由（1）知AD?2，依题意得AC?2AE?3.在△ACD中，由余弦定理得AC2?AD2?DC2? π2AD?DCcos?ADC,即9?4?DC2?2?2?DCcos,即DC2?2DC?5?0,解得DC?1?63（负值舍去）. 故S△ADC?1133?32AD?DCsin?ADC??2?(1?6)??, 222213?32S△ADC?. 24从而S△ADE? （2）因为B?π2π， 所以A?C?. 332π) 32sin2A?cos(A?C)?1?cos2A?cos(2A?1333?1?cos2A?cos2A?sin2A?1?sin2A?cos2A2222 π?1?3sin(2A?). 32πππ因为0?A?，??2A??π， 333所以?3π?sin(2A?)?1， 232所以2sinA?cos?A?C?的范围是???1?,1?3?． ?2? 16．【解析】（1） 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 当当故 ，即，即 的值域为 时，时，. 取得最大值3； 取得最小值 ， （2）设△ABC中 所对的边分别为 . 即得 又易得 ，即 即 直通高考 1．【答案】A 【解析】由题意知sin(A?C)?2sinBcosC?2sinAcosC?cosAsinC， 所以2sinBcosC?sinAcosC?2sinB?sinA?2b?a，选A. 【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到a?2b.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2．【答案】A 【解析】因为 所以 ，选A. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 4．【答案】 1510, 24【解析】取BC中点E，由题意：AE?BC， △ABE中，cos?ABC?1115BE1?， ?，∴cos?DBC??,sin?DBC?1?4164AB4∴S△BCD?115?BD?BC?sin?DBC?． 22∵?ABC?2?BDC，∴cos?ABC?cos2?BDC?2cos2?BDC?1?1， 4解得cos?BDC?1010或cos?BDC??（舍去）． 441015，cos?BDC?． 42综上可得，△BCD的面积为 5．【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得 BDAB. ?sin?Asin?ADB由题设知， 252，所以sin?ADB?. ?5sin45?sin?ADB由题设知，?ADB?90?，所以cos?ADB?1?223?. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得 BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC ?25?8?2?5?22?2 5小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 ?25. 所以BC?5. 1a21a6．【解析】（1）由题设得acsinB?，即csinB?. 23sinA23sinA1sinA. sinCsinB?23sinA2故sinBsinC?. 3由正弦定理得 【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如y?Asin(?x??)?b，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 7．【解析】（1）由题设及A?B?C??，可得sinB?8sin2B，故sinB?4?1?cosB?． 2152上式两边平方，整理得17cosB?32cosB?15?0，解得cosB?1(舍去)，cosB?． 1715814（2）由cosB?得sinB?，故S△ABC=acsinB?ac． 171721717又S△ABC=2，则ac?． 2由余弦定理及a?c?6得： 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 b2?a2?c2?2accosB??a?c??2ac?1?cosB??36?2?所以b?2． 21715?(1?)?4, 217【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a?c,ac,a?c三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐． 8．【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=– 221π43，∴B∈（，π），∴sinB=1?cos2B?． 7278ab73??由正弦定理得=43，∴sinA=． sinAsinBsinA27πππ∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=． 223（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在△ABC中，∵sinC=∴AC边上的高为33． 23114333=． ?(?)??272714h3333，∴h=BC?sinC=7?， ?BC142 9．【解析】（1）在△ABC中，因为a?b，故由sinB?34，可得cosB?． 55由已知及余弦定理，有b2?a2?c2?2accosB?13，所以b?13． 由正弦定理 abasinB313?，得sinA?． ?sinAsinBb13313． 13所以，b的值为13，sinA的值为 （2）由（1）及a?c，得cosA?所以sin2A?2sinAcosA?213， 131252，cos2A?1?2sinA??． 1313小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 故sin(2A?πππ72． )?sin2Acos?cos2Asin?44426【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题． 小学+初中+高中+努力=大学
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