小学+初中+高中+努力=大学
A．1 B．
33 C．5．75 D7 【答案】D
典例2 已知△ABC的内角的对边分别为
,且
.
(1)求； (2)若
,线段
的垂直平分线交
于点,求
的长.
【解析】(1)因为
,所以
.
由余弦定理得 ，
又，所以. （2）由（1）知,
根据余弦定理可得，
所以
.
由正弦定理得，即252?22sinB，解得.
2从而cosB?255. 小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
设的中垂线交于点,
，所以BD?因为在Rt△BDE中,
BE15， ??cosB2525.
因为为线段的中垂线，所以
1．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且A．π 6π 3上一点满足，求边，求
.
的长；
，
2sinC?sinBacosB，则A= ?sinBbcosAπB． 4D．C．2π 32．在△ABC中，边（1）若（2）若
.
考向二 三角形形状的判断
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A?B?C?π这个结论． 提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.
典例3 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，满足cosAcosC?sinAsinC?cosB?3，且2a,b,c成等比数列.
（1）求角B的大小； （2）若
ac2b??,a?2,试判断三角形的形状. tanAtanCtanB小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
（2）由
acosAccosC2bcosBac2b,得, ????sinAsinCsinBtanAtanCtanB2ππ,所以A?C?, 33利用正弦定理可得cosA?cosC?2cosB?1, 又因为A?C?所以△ABC是等边三角形.
3．在△ABC中，，，分别为角，，所对的边，若A．一定是锐角三角形 C．一定是斜三角形
，则△ABC
B．一定是钝角三角形 D．一定是直角三角形
考向三 与面积、范围有关的问题
（1）求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
（2）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
典例4 在△ABC中，角（1）求角；
的对边分别为
，且
．
小学+初中+高中+努力=大学
小学+初中+高中+努力=大学
（2）若
，求△ABC面积的最大值．
，
，
，解得
．
，即
．
（当且仅当
取等号），∴
，即
， ，
【解析】（1）由已知和正弦定理得
（2）由余弦定理得：整理得：∵
，
故△ABC面积的最大值为
．
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
典例5 在△ABC中，（1）若（2）若
，求
，是
边上的一点.
的长；
，求△ABC周长的取值范围.
，
×cos∠DAC＝3,
【解析】（1）在△ADC中，AD＝1，所以
＝
cos∠DAC＝1×2
所以cos∠DAC＝
2.
22由余弦定理得CD?AC?AD?2AC?AD?cos?DAC＝12＋1－2×2所以CD＝
.
×1×＝7，
（2）在△ABC中，由正弦定理得
ABBCAC23????4， sinCsinAsinBsin2π3，
ππ??3??0?A?,?sin?A????,1?.
?332????小学+初中+高中+努力=大学
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