高数总习题五 (8)

总习题四

★1、设

f(x)的一个原函数是e?2x，则f(x)?(?2x).

?2x (A) e (B) -2e?2x (C) -4e (D) 4e?2x

知识点：原函数的定义考察。 思路分析：略。 解：(B)。

★2、设

?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dx? 。 f(x)知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：对条件两边求导数后解出f(x)后代入到要求的表达式中，积分即可。 解：对式子xf(x)dx?arcsinx?C两边求导数得：

?x1?x2

dx111????x1?x2dx??1?x2dx2???1?x2d(1?x2)??(1?x2)3?Cf(x)223★★3、设

xf(x)?11?x2,?f(x)?1,?1?x1?x2;f(x)x2f(x?1)?ln2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx。

x?22知识点：函数的定义考察。

思路分析：求出f(x)后解得?(x)，积分即可。

解：

x2x2?1?1t?1?(x)?1f(x?1)?ln2?ln2,?f(t)?ln,?f(?(x))?ln,

t?1?(x)?1x?2x?1?12又

f(?(x))?lnx,??(x)?1x?1=x,??(x)?;

?(x)?1x?1???(x)dx??x?12dx??(1?)dx?x?2lnx?1?C x?1x?1f(x)的原函数，当x>0时，有f(x)F(x)?sin22x，且F(0)?1， F(x)?0★★★4、设F(x)为

试求

f(x)。

1

知识点：原函数的定义性质考察。

思路分析：注意到dF(x)?f(x)dx，先求出F(x)，再求f(x) 即可。 解：

即

f(x)F(x)?sin22x；??f(x)F(x)dx??sin22xdx

12F(x)dF(x)?sin2xdx,?(F(x))2??sin22xdx, ??21?(F(x))2?2?sin22xdx??(1?cos4x)dx?x?sin4x?C;

412又F(0)?1,?C?1;?(F(x))?x?sin4x?1;(x?0.)

4又F(x)1?0,?F(x)?x?sin4x?1,

42又

f(x)F(x)?sin2x,?f(x)?sin22x。

1x?sin4x?145、求下列不定积分。 知识点：求不定积分的综合考察。 思路分析：具体问题具体分析。

★★(1)

?x2?5xdx

2?5x。

思路：变无理式为有理式，变量替换t?2?t22t,dx??dt, 解：令t?2?5x，则x?552?t22t2221??x2?5xdx??t?(?dt)???(2t2?t4)dt??(t3?t5)?C55252535

4230x?8??(2?5x)3?(2?5x)5?C??(2?5x)3?C.75125375★(2)

?xdxx?12(x?1)

思路：变无理式为有理式，变量替换x?sect。 解：令x?sect,0?t??2，则dx?secttantdt。

2

??dxxx2?1??secttant1dt??dt?t?C?arccos?C

secttantx2x3x★★★(3)?9x?4xdx

2x2x()x2x3x33思路：将被积函数x 变为=xx2x29?4221?[()]1?(x)33解：令t?()，则dt?()ln后换元或凑微分。

23x23x2dx。 32()x231dt1113??xdx?dx??(?)dtx2???2ln2?ln32(ln3?ln2)t?1t?19?41?t1?[()x]23

2x()?11t?11?ln?C?ln3?C.2x2(ln3?ln2)t?12(ln3?ln2)()?13xx

13x?2x?lnx?C x2(ln3?ln2)3?2x2★★(4)?a6?x6dx(a?0)

思路：凑微分。

x21111333解：?6dx?dx?dx,令t?x, 666632??3a?x3a?(x)a?x x2111111t?a3??66dx??322dt??3?(?)dt??3ln?Ca?x3(a)?t6at?a3t?a36at?a3

1x3?a31x3?a3??3ln3?C?3ln33?C.

6ax?a36ax?a★★(5)

?dxx(1?x)

思路：将被积函数进行配方后换元或先凑微分再换元。

3