（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），
．
∴；
（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，
可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1） ＝
＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076 ≈0.9597．
∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x∈（0，+∞）时，ex（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）令g（x）＝ex（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使gmin（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知，
＝
，………………（1分）
当a＝0时，f'（x）＝ex＞0，此时f（x）在R上单调递增； ………………（2分） 当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），
当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； ………………（3分） 当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），
当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； ………………（4分） 综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减， x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；
当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减， x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分） （2）由ex（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）， 可得，ex（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0， 令g（x）＝ex（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10 只需在x∈（0，+∞）使gmin（x）＞0即可，
g'（x）＝ex（x﹣a﹣1）+ex﹣2x+2a＝（ex﹣2）（x﹣a），………………（6分） ①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数， 只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，
解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0； ………………（8分） ②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数， 在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数， 则
，解得0＜a＜ln2，………………（9分）
③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数， 而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分） ④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数， 在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数， 则
，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）
综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），
以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）设点
，直线l与曲线C相交于两点A，B，求
的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【解答】解：（1）直线l的普通方程为因为
，
；
所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，
将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式， 可得x2+2y2＝8．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 可得
，
设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2， 则
，
．
于是
＝．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．
（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围． 【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得； （2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得． 【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，
当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分） 当﹣2＜x≤当x＞
时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）
时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5； ………………（3分）
综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分） （2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即
，由题意m＜g（x）min．………………（5分）
当x∈[0，1]时，此时最小值为当x∈[﹣1，0）时，此时最小值为又
，所以
为减函数，
； ………………（7分）
为增函数，
．………………（9分）
．
．………………（10分）
.
所以m的取值范围为
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
相关推荐：
loading