题型练8 (六)函数与导数综合问题
1.(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2
-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2
-2ax+4a-2},其中min{p,q}=
(1)求使得等式F(x)=x2
-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)①求F(x)的最小值m(a);
②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
大题专项
3.已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-3
2
∞,-3)∪
,求c的值.
4.已知a>0,函数f(x)=esin x(x∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N)个极值点.证明: (1)数列{f(xn)}是等比数列;
ax*(2)若a≥
,则对一切n∈N,xn<|f(xn)|恒成立.
*
5.(2018天津,理20)已知函数f(x)=a,g(x)=logax,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-xln a的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明
xx1+g(x2)=-;
(3)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ae(x-1). (1)求b的值;
(2)若对任意x∈,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.
题型练8 大题专项(六) 函数与导数综合问题
1.解 (1)因为f(x)=[ax-(4a+1)x+4a+3]e,
所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax-(4a+1)x+4a+3]e=[ax-(2a+1)x+2]e(x∈R).
x2
2
xx2xf'(1)=(1-a)e.
由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.
(2)由(1)得f'(x)=[ax-(2a+1)x+2]e=(ax-1)(x-2)e.
2
xx若a>,则当x时,f'(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值.
若a,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1x-1<0,所以f'(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是
2
2
2
2.解 (1)由于a≥3,故当x≤1时,(x-2ax+4a-2)-2|x-1|=x+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x-2
2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].
(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},
2
2
即m(a)=
②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),
当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以,M(a)=3.解 (1)f'(x)=3x+2ax,
2
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2
当a=0时,因为f'(x)=3x>0(x≠0), 所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;
当a>0时,x(0,+∞)时,f'(x)>0,x时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在区间,(0,+∞)内单调递增,在区间内单调递减;
当a<0时,x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,x时,f'(x)<0,
所以函数f(x)在区间(-∞,0),内单调递增,在区间内单调递减.
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,fa3+b,
则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f=b<0,从而
又b=c-a,所以当a>0时,a3-a+c>0或当a<0时,a3-a+c<0.
设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-,
3)
则在(-∞,-3)内g(a)<0,且在内g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且
g=c-1≥0,因此c=1.
此时,f(x)=x+ax+1-a=(x+1)[x+(a-1)x+1-a],
3
2
2
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