2019年中考数学专题训练：解直角三角形的应用(含答案)

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中考数学专题训练：解直角三角形的应用

1. （2012山西省）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

）

∵PC=30m，∠CPE=45°，∴sin45??∴CE=PC?sin45°=30×CE。 PC2。 =152（m）

2∵点C与点A在同一水平线上，∴AB=CE=152≈21.2（m）。 答：居民楼AB的高度约为21.2m。 （2）在Rt△ABP中，∵∠APB=60°，∴tan60??AB152AB==56（m）。 ∴BP?。 tan60?BP3∵PE=CE=152m， ∴AC=BE=152+56≈33.4（m）。 答：C、A之间的距离约为33.4m。

【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°。 ∴四边形ABFE为矩形。∴AB=EF，AE=BF。 由题意可知：AE=BF=100，CD=500。 在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100， ∴CE?3. （2012湖南）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，

≈1.732）．

100100==3。

3tan6003AE

100在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴DF?==100。 01tan45100100∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）。 3≈600﹣33答：岛屿两端A．B的距离为542.3米。

2. （2012江苏）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°， 然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30 m，点C与点A恰好在同一水平线上， 点A、B、P、C在同一平面内．

（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．

BF【答案】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米。

设AG=x米，GF=y米，

在Rt△AFG中，tan∠AFG=tan60°=

AGx?=3， FGyAGx3?=， BGy+83在Rt△ADG中，tan∠ADG=tan30°=

二者联立，解得x=43，y=4。

∴AG=43米，FG=4米。∴AB=AG＋GB=43＋1.5≈8.4（米）。

（精确到0.1m，参考数据：2?1.41,3?1.73,6?2.45）

【答案】解：（1）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△CPE中，

∴这棵树AB的高度为8.4米。

4.（2012四川）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所

学科王

0

示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米。

（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？

（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。

【答案】解：（1）如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G。在Rt△ABF中，

AB=16米，∠B=60°，sin?B?AFAB， ∴AF?16?32?8 3，即DG=8 3。

又∵CE=8，∴S11?DCE?2?CE?DG?2?8?8 3?32 3。

又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方：150?323=48003。 答：需要填土石方150?323=48003立方米。

（2）在Rt△DGC中，DC=163，DG=8 3，∴GC?DC2?DG2?24。

∴GE=GC+CE=32。∴DE的坡度i?DG833GE?32=4。 答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为34。

5. （2012山东）某市规划局计划在一坡角为16o的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28o，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考 数据：cos28o≈0.9，sin62o≈0.9，sin44o≈0.7，cos46o≈0.7)．

【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中，cos?OAB?AB12OA，即cos280?OA，

∴OA?1212cos280?0.9?13.333。 ∵∠BAE=160

，∴∠OAE=280

＋160

=440

。 在Rt△AOE中，sin?OAE?OEOA，即sin440?OE13.333， ∴OE?13.333?sin440?13.333?0.7?9.333 9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。

6. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22o时， 教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45o时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；

(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．

(参考数据：sin22o≈3，cos22o≈

152816，tan22o≈5)

【答案】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M。设AB为x．

在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x＋13。

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵tan220?AMx?2ME，∴x?13?25，解得：x≈12。 ∴教学楼的高12m。

（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。

在Rt△AME中，cos220?MEAE， ∴AE=ME cos22°≈25?1516?27。

∴A、E之间的距离约为27m。

7. （2012江西省9分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：

AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．

（1）求证：AC∥BD；

（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；

（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；）

【答案】（1）证明：∵AB．CD相交于点O，∴∠AOC=∠BOD。

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12（180°﹣∠BOD）。 同理可证：∠OBD=∠ODB=12（180°﹣∠BOD）。

∴∠OAC=∠OBD。∴AC∥BD。

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；

作OM⊥EF于点M，则EM=16cm ∴cos∠OEF=

EM16OE?34≈0.471。 用科学记算器求得∠OEF=61.9°。

（3）小红的连衣裙会拖落到地面。理由如下：

在Rt△OEM中， OM?OE2?EM2?342?162?30（cm）。 过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD， ∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH ∴

OEOMOM?ABAB?AH，AH?30?136OE?34?120（cm）

。 ∴小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH（120cm）。

8. （2012山东潍坊10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数

学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300

，∠CBD=600

．

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3?1.73， 2?1.41)； (2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．

【答案】解：（1）由題意得，

在Rt△ADC中，AD?CD21tan300?3 21?3 ，

3在Rt△BDC中，BD?CDtan600?213?73， ∴AB=AD－BD= 213 ?73=143?14?1.73=24.22?24.2（米）。 （2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），

∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时。

∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速。

9. （2012内蒙古包头8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD = 5 米，斜坡AB 的坡度

i =1：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知该拦水坝的高

为6 米。

（1）求斜坡AB 的长； （2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【答案】解：（1）∵

AEBE=13，AE=6，∴BE=3AD=18。 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB?AE2?BE2?610。 答：斜坡AB 的长为610米。 （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∴四边形AEFD是矩形。 ∴EF=AD。

∵AD=5，∴EF=5。 又∵

DFCF=23， DF=AE=6，∴CF=32DF=9。 ∴BC=BE＋EF＋CF=18＋5＋9=32。

在Rt△DCF中，根据勾股定理得，DC?DF2?CF2?313。

∴梯形ABCD 的周长为AB＋BC＋CD＋DA=610+32+313+5?37+610+313。 答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为37+610+313米。

10、(2013年河北三摸)如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.。

（1）风车在转动过程中，点为A到桌面的最远距离为_____cm，最近距离为_____cm； （2）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．

（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．

解：（1）35，15；

（2）点A运动到点A1的位置时∠AOE＝45°.

作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴ A1F＝GE. 在Rt△A1OG中，

∵∠AOG＝OA2

1OG＝45°，OA1＝10， ∴1·cos45°＝10×2

＝52.

∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－52. ∴A1F＝GE＝25－52. 答：点A到桌面的距离是(25－52)厘米

（3）点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米. 作A2H⊥MN于H，则A2H＝20. 作A2D⊥OE于点D， ∴DE＝A2H. ∵OE＝25， ∴OD＝OE－DE＝25－20＝5. 在Rt△A ∵OAOD51

2OD中，2＝10， ∴cos∠A2OD＝OA＝＝2102.

∴∠A2OD＝60°. 由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°. ∴点A所经过的路径长为120π×1020π180＝3

.

答：点A所经过的路径长为20π

3厘米．

11、(2013·吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A

处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．

求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）． （参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．

∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴

．

设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k． ∴13k=26．解得k=2．∴AH=10． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10米． （2）延长BC交PQ于点D．

∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ． ∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH． ∵∠BPD=45°，∴PD=BD． 设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x－14．

在Rt△ABC中，

，即

．

解得，即．

答：古塔BC的高度约为19米．

2013中考数学专题训练：方案设计型

考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、

1．某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ 1.5x ?0≤x≤10?，??

∴y＝?2x－5 ?10

??3x－m－5 ?x>m?.

(3)当40≤m≤50时，y＝2×40－5＝75(元)，满足．

(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?

解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件， 根据题意，得

???x＋y＝100，?解得：???x＝40，?15x＋35y＝2 700， ??

y＝60.

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件． (2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100－a)件， 根据题意列，得

???15a＋35?100－a?≤3 100，

?解得20≤a≤22. ?

5a＋10?100－a?≥890，

∵总利润W＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1 000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小， ∴当x＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100－20＝80，

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．

2．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

月用水量(单位：吨) 单价(单位：元/吨) 不大于10吨部分 1.5 大于10吨，且不大于m吨部分(20≤m≤50) 2 大于m吨部分 3 (1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费； (2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；

(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围． 解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x≤10时，y＝1.5x；

当10m时，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.

当20≤m<40时，y＝3×40－m－5＝115－m， 则70≤115－m≤90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40.

综上得，25≤m≤50.

3．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：

种植户 种植A类蔬菜面积(单位：亩) 种植B类蔬菜面积(单位：亩) 总收入(单位：元) 甲 3 1 12 500 乙 2 3 16 500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位． (1)求A，B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；

(2)某种植户准备租20亩地用来种植A，B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．

解：(1)设A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．

由题意，得???3x＋y＝12 500，??

x＝3 000，?3y＝16 500. 解得??2x＋??y＝3 500.

答：A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．

(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20－a)亩．

由题意，得??

?3 000a＋3 500?20－a?≥63 000，?a＞20－a.

解得10＜a≤14.

?∵a取整数，为：11,12,13,14. ∴租地方案为：

类别 种植面积(亩) A 11 12 13 14 B 9 8 7 6

4.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地（如图）进行改造，将它分割成△AHG、△BHE、△CGF和矩形EFGH四部分，且矩形EFGH作为停车场，经测量BC=120m，高AD=80m，

（1）若学校计划在△AHG上种草，在△BHE、△CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？

（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，?x?4?x?4又如何设计矩形的长、宽，使得△ABC空地改造投资最小？最小为多少? 解、（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米 由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：

HG80?x3120?80∴ HG ?120?2x BE+FC=120－（120?332x）=2x

∴12 （· 120?32x）（·80?x）?132?2x·x解得x=40

∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。 （2）设改造后的总投资为W元 W=1 （· 120?322x）（·80?x）·6?12?32x·x·10?x(120?32x)·4?6x2?240x?28800=6(x－20)2+26400 ∴当x=20时,W最小=36400

答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。

5.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.

车型 特产 苦荞茶 青花椒 野生蘑菇 A型 2 2 每辆汽车运载量（吨） B型 4 2 C型 1 6 车型 A B C

每辆车运费（元） 1500 1800 2000 （1）设A型汽车安排x辆，B 型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式. （2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案. （3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费. 解：（1）法①根据题意得

4x?6y?7?21?x?y??120化简得：y??3x?27

??y?4????3x?27?4?（2）由?21?x?y?4 得

?21?x???3x?27??45?x?72，解得

3.

∵x为正整数，∴x?5,6,7.故车辆安排有三种方案，即： 方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆 方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆 方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆 （3）设总运费为W元，则

W?1500x?1800??3x?27??2000?21?x?3x?27?

?100x?36600

∵W随x的增大而增大，且x?5,6,7 ∴当x?5时，

W最小?37100元

答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。

6.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元． （1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．

解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．

30根据题意得：x+30x+25?1．

方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，得x1=50，x2=﹣15．经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．

但x2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．

答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天． （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．

方案一：由甲工程队单独完成． 所需费用为：2500×50=125000（元）． 方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．

7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

类别 进价 售价 彩电 2000 2200 冰箱 1600 1800 洗衣机 1000 1100 A地 B地 C地 20 22 20 21 运往D地（元/立方米） 22 运往E地（元/立方米） 20 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？

解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x+2x﹣10=140，解得：x=50，∴2x﹣10=90， 答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米； （2）由题意可得，

（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?

(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价） 解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100﹣x）台．

由题意，得2000x+1000（100﹣x）=160000，解得x=60，则100﹣x=40（台）， 所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台．

（2）设购买彩电和冰箱各a台，则购买洗衣机为（100﹣2a）台．

??2000a?1600a?1000(100-2a)?160000根据题意，得?100?2a?a331?a?37.5 解得3．

因为a是整数，所以a=34、35、36、37． 因此，共有四种进货方案．

设商店销售完毕后获得的利润为w元，

则w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣2a）=200a+10000， ∵200＞0，∴w随a的增大而增大， ∴当a=37时，

W最大值=200×37+10000=17400，

所以，商店获得的最大利润为17400元．

8.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？

（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？

（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：

??90?(A?30)?2a?50??90?(a?30)??12，解得：20＜a≤22，

∵a是整数，∴a=21或22，∴有如下两种方案：

第一种：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米；C地运往D地39立方米，运往E地11立方米； 第二种：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米；C地运往D地38立方米，运往E地12立方米； （3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元）， 第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）， 所以，第一种方案的总费用最少．

9.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题： （1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；

（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．

物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元/吨） 240 320 200 解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20﹣x﹣y）=200，12x+10y+160﹣8x﹣8y=2002x+y=20， ∴y=20﹣2x，

??x≥5（2）根据题意，得：?20?2x≥4解之得：5≤x≤8

∵x取正整数，∴x=5，6，7，8， ∴共有4种方案，即

A B C 方案一 5 10 5 方案二 6 8 6 方案三 7 6 7 方案四 8 4 8 （3）设总运费为M元，

则M=12×240x+10×320（20﹣2x）+8×200（20﹣x+2x﹣20） 即：M=﹣1920x+64000

∵M是x的一次函数，且M随x增大而减小，∴当x=8时，M最小，最少为48640元．

10.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元. （1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？

（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x个文具盒需要y1元，买x支钢笔需要y2元；求y1、y2关于x的函数关系式； （3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱. 解：（1）设每个文具盒x元，每支钢笔y元，可列方程组得

??5x?2y?100?x?14?4x?7y?161?， 解之得?y?15 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.

（2）由题意知，y1关于x的函数关系式为y1=14×90%x，即y1=12.6x.

由题意知，买钢笔10以下（含10支）没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x. 当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15×10+15×80%（x－10） 即y2=12x+30

（3）当y1< y2即12.6x<12x+30时，解得x<50; 当y1= y2即12.6x=12x+30时，解得x=50; 当y1> y2即12.6x>12x+30时，解得x>50.

综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱.

11．为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表

明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．

现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：

占地面积（m2/垄） 产量（千克/垄） 利润（元/千克） 西红柿 30 160 1.1 草莓 15 50 1.6 （1）若设草莓共种植了x垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？ （2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意西红柿种了（24-x）垄

15x+30(24-x)≤540 解得 x≥12 ∵x≤14，且x是正整数 ∴x=12，13，14

共有三种种植方案，分别是：

方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄 方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄 方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄 （2）解法一：方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072（元）

方案二获得的利润：13×50×1.6+11×160×1.1=2976（元） 方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880（元）

由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，

最大利润是3072元

解法二：若草莓种了x垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润y元，则

y?1.6?50x?1.1?160(24?x)??96x?4224

∵k?-96＜0 ∴y随x的增大而减小 又∵12≤x≤14，且x是正整数 ∴当x=12时，y最大=3072（元）