课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课
A组——易错清零练
1．设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线．则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．
解析：由l⊥m，m?α，可得l?α，l∥α或l与α相交，推不出l⊥α；由l⊥α，
m?α，结合线面垂直的定义可得l⊥m.故“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2020-2021·南京盐城二模)已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．
解析：设正四棱锥P-ABCD的棱长为2x，则斜高为3x，所以(2)＋x＝(3x)，得x1
＝1，所以该正四棱锥的棱长为2，表面积S＝4＋4××2×2sin 60°＝43＋4.
2
答案：43＋4
3.(2020-2021·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．
解析：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥P-ABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上．设BC的中点为D，连接AD，过点P作PO⊥平面ABC，交AD于点O，则AO＝PO＝2，
2
2
2
AD＝3，AB＝BC＝23，所以S△ABC＝×23×3＝33，所以挖去的正三棱
11
锥的体积V＝S△ABC×PO＝×33×2＝23.
33
答案：23
4．(2020-2021·常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面圆为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．
解析：设圆锥SO的底面圆的半径为r，高为h，则圆柱PO的底面圆的半
1
2
11
径为r，高为h，故圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为
22
3答案：
8
?1?1π?r?×h?2?23
12πrh3
2
＝. 8
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B组——方法技巧练
1．(2020-2021·山东联考)如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体，P-QRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面内，BC∥QH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是________．
解析：设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EF∥AD.过点P作平面QRH的垂线，垂43
足为O，则O是△QRH的中心．设OR∩HQ＝G，则∠EAB＝∠PGO.由RG＝23得RO＝2OG＝，
3
463PO22422?43?2462
4－?＝，所以sin∠EAB＝sin∠PGO＝＝＝，即＝，则EA?3PG233EA3?3?
PO＝
＝32，所以四边形AEFD的面积S＝4×32＝122.
答案：122
2．在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号为________．
解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，①正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知④正确；②③均不恒成立．故选①④.
答案：①④
3．(2020-2021·宿迁模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为________．
解析：如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m， 则MB＝h＋4，BQ＝m＋4，MQ＝(h－m)＋4，
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2
2
2
2
2
2
由MB＝BQ＋MQ，得m－hm＋2＝0.Δ＝h－8≥0?h≥8，该直角三角形斜边MB＝ 4＋h≥4＋8＝23，
故该直角三角形斜边长的最小值为23. 答案：23
4．(2020-2021·如皋中学模拟)如图，已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)求证：MN∥平面AA′C′C；
(2)设AB＝λ AA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论． 解：(1)证明：如图，取A′B′ 的中点E，连接ME，NE.
2
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因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.
又A′C′?平面AA′C′C，AA′?平面AA′C′C，NE?平面 AA′C′C，ME?平面AA′C′C， 所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C， 又因为ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C， 因为MN?平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C. (2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa， 由题意知BC＝2λa，CN＝BN＝ a2＋λ2a2，
1
2
因为三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面， 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C. 因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，所以A′N⊥平面BB′C′C， 又CN?平面BB′C′C，所以CN⊥A′N， 要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
?2122?22222
所以CN＋BN＝BC，即2?a＋λa?＝2λa，
2??
解得λ＝2，故当λ＝2 时，CN⊥平面A′MN.
5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC. (1)求证：平面AEC⊥平面ABE；
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