专题12 数列
1．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则 A．an?2n?5
an?3n?10 B． D．Sn?
2C．Sn?2n?8n
12n?2n 2【答案】A
d??a1??3?S4?4a1??4?3?02【解析】由题知，?，解得?，∴an?2n?5，Sn?n?4n,故选A． 2?d?2?a?a?4d?51?5【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列?an?的前4项和为15，且a5?3a3?4a1，则a3? A．16 C．4 【答案】C
B．8 D．2
?a1?a1q?a1q2?a1q3?15【解析】设正数的等比数列{an}的公比为q，则?4， 2?a1q?3a1q?4a1?a1?1,2解得?，?a3?a1q?4，故选C．
?q?2【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，n?N?，则 A． 当b?1,a10?10 2B． 当b?1,a10?10 4C． 当b??2,a10?10 【答案】A
D． 当b??4,a10?10
?【解析】①当b=0时，取a=0，则an?0,n?N.
②当b<0时，令x?x?b，即x?x?b?0. 2则该方程??1?4b?0，即必存在x0，使得x0?x0?b?0， 2?则一定存在 a1=a=x0，使得an?1?an?b?an对任意n?N成立， 22解方程a?a?b?0，得a?21?1?4b， 2当1?1?4b1?1?4b?10时，即b…?90时，总存在a?，使得a1?a2???a10?10， 22故C、D两项均不正确. 2③当b?0时，a2?a1?b?b， 22则a3?a2?b?b?b， 2a4?a3?b…?b2?b??b. 2??1?21?11711（ⅰ）当b?时，a4?????????1,a5?1?， 22???2?2??2162?1?111则a6??1?????2， ?2?24a7?22?19?， 222?9?183a8??????10 ， ?2?24则a9?a8?2a10?a9?221?10， 21?10 ， 2故A项正确. 11?1?11（ⅱ）当b?时，令a1=a=0，则a2?,a3?????， 44?4?4221?1?112所以a4?a3??????，以此类推， 4?2?421?1?11所以a10?a??????， 4?2?422922
故B项不正确. 故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.
4．【2018年高考全国I卷理数】设Sn为等差数列?an?的前n项和，若3S3?S2?S4，a1?2，则a5? A．?12 C．10 【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3?3?2?整理解得d??3，所以a5?a1?4d?2?12??10，故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到a5与a1,d的关系，从而求得结果.
5．【2018年高考浙江卷】已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)．若a1?1，则 A．a1?a3,a2?a4 C．a1?a3,a2?a4 【答案】B
【解析】令f?x??x?lnx?1,则f??x??1?
B．a1?a3,a2?a4 D．a1?a3,a2?a4
B．?10 D．12
??3?2?4?3?d??2?2?d?4?2??d， 22?1，令f??x??0,得x?1，所以当x?1时，f??x??0，x当0?x?1时，f??x??0，因此f?x??f?1??0,?x?lnx?1.
若公比q?0，则a1?a2?a3?a4?a1?a2?a3?ln?a1?a2?a3?，不合题意； 若公比q??1，则a1?a2?a3?a4?a1?1?q?1?q2?0,但
2??lna1?0，ln?a1?a2?a3??ln?a1?q?q即a1?a2?a3?a4?0?ln?a1?a2?a3?，不合题意；
?1?????222因此?1?q?0,q??0,1?，?a1?a1q?a3,a2?a2q?a4?0，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
x?lnx?1,ex?x?1,ex?x2?1?x?0?.
6．【2017年高考全国I卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，S6?48，则{an}的公差为 A．1 C．4
B．2 D．8
【答案】C
【解析】设公差为d，a4?a5?a1?3d?a1?4d?2a1?7d?24，
S6?6a1??2a?7d?246?5,解得d?4，故选C． d?6a1?15d?48，联立?12?6a1?15d?486(a1?a6)?3(a3?a4)?48，即a3?a4?16， 2【秒杀解】因为S6?则(a4?a5)?(a3?a4)?24?16?8，即a5?a3?2d?8，解得d?4，故选C．
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{an}为等差数列，若
m?n?p?q，则am?an?ap?aq.
7．【2017年高考全国I卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数
学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 C．220 【答案】A
【解析】由题意得，数列如下：
B．330 D．110
1,1,2,1,2,4,L1,2,4,L,2k?1L则该数列的前1?2?L?k?
k(k?1)项和为 2
?k(k?1)?k?1k?1S???1?(1?2)?L?(1?2?L?2)?2?k?2， ?2?要使
k(k?1)?100，有k?14，此时k?2?2k?1，所以k?2是第k?1组等比数列1,2,L,2k的部分2和，设k?2?1?2?L?2t?1?2t?1，
所以k?2t?3?14，则t?5，此时k?25?3?29， 所以对应满足条件的最小整数N?29?30?5?440，故选A. 2【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 C．5盏 【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数
B．3盏 D．9盏
x(1?27)?381，解得x?3，即塔的顶层共有灯3盏，故选B． 列的求和公式有
1?2【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．
9．【2017年高考全国III卷理数】等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为 A．?24 C．3
B．?3 D．8
【答案】A
2【解析】设等差数列?an?的公差为d，由a2，a3，a6成等比数列可得a3?a2a6，即
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