5-2数的整除
本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
教学目标
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a〒b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3〓4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，
那么bd｜ac；
例题精讲
5-2.数的整除.题库 教师版 page 1 of 12 模块一、常见数的整除判定特征
【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【解析】 本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
【巩固】 六位数20??08能被99整除，??是多少？ 【解析】 方法一：200008被99除商2020余28，所以??00?28能被99整除，商72时，99?72?7128，
末两位是28，所以??为71；
方法二：99?9?11，20??08能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得??是71.
【巩固】 六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？ 【解析】 详解类似上题，从略。填入05
【例 2】 173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，
依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【解析】 用1730试除，1730〔9=192……2，1730〔1l=157……3，1730〔6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、
(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．
【巩固】 某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次
是多少？
【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得7位数
能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要让七位数是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍数的倍数即可。【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用1993000试除，1993000〔2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．
【巩固】 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 【解析】 因为105?3?7?5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．
方法一：利用整除特征 末位只能为0或5．
① 如果末位填入0，那么数字和为1?9?9?2?□?0?21?□，要求数字和是3的倍数，所以□ 可以为0，3，6， 9，验证200?199?1，230?199?31，260?199?61，290?199?91， 有91是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90． ② 如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征． 所以，题中数的末两位只能是90． 方法二：采用试除法
用199200试除，199200?105?1897??15，余15可以看成不足，105?15 ?90．所以补上90，即在末两位的方格内填入90即可．
【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的
两位数是多少? 【解析】 采用试除法.设六位数为11ab11,11ab11?11?10000?ab00?11?110011?ab00如果一个数能同时
被17和19整除，那么一定能被323整除．110011?323?340??191，余191也可以看成不足323?191?132．所以当ab00?132?323n时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．所以有323n的末位只能是10?2?8，所以n只能是6，16，26，?验证有n?16时，132?32?31?6530，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．
【巩固】 已知四十一位数55?5□99?9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是
多少？
【解析】 我们知道abcabc这样的六位数一定能整除7、11、13原41位数中从高位数起共有20个5，从低
位数起共有20个9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：555555〓10…00(35个0)+555555〓10…00(29个0)+…+55□
5-2.数的整除.题库 教师版 page 2 of 12 99+999999〓10…00(12个0)+…+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数，唯独剩余55□99待定，那么只要令55□99是7的倍数即可，即只要□44是7的倍数即可，□应为6
【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
【解析】 一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4?□?3?2?□是9的倍数，而
4?3?2?9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．⑴依次填入3、6，因为4?3?3?2?6?18是9的倍数，所以43326是9的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．
【例 5】 (2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那
么，这个九位数是多少？
【解析】 设原数?2007a12b2，∵9|2007a12b 2? a?b?4或者a?b?13，∵11| 2007a12b2?
2?0?a? 2?2? (0?7?1?b)?0或者(0?7?1?b)?(2?2?a?0?2)?11?a?b?2或者
?a?b?4b?a?9根据两数和差同奇偶，得：? ?
a?b?2??a?3?a?b?13?a?2或者?不成立.所? ??b?1b?a?9b?11???以，2007a12b2 ?200731212.
【例 6】 一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧
去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价.
【解析】 把□67.9□元作为整数□679□分.既然是72本笔记本的总线数，那就一定能被72整除，又因
为72?8?9，(8，9) ?1.所以8|□679□，9|□679□. 8|□679□，根据能被8整除的数的特征，8 |79□，通过计算个位的□?2.又9|□6792，根据能被9整除的数的特征，9| (□?6?7?9?2)，显然前面的□应是3.所以这笔帐笔记本的单价是：367.92?72?5.11 (元).
【例 7】 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 【解析】 根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我
们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是a-b不可能为22，所以a-b=0，解得a=b=14，则容易排列出最大数875413.
模块二、数的整除性质应用
【例 8】 各位数码是0、1或2，且能被225 整除的最小自然数是多少？ 【解析】 被合数整除把225分解，分别考虑能被25和9整除特征。225?9?25，所以要求分别能被25和
9整除。要能被25整除，所以最后两位就是00。要能被9整除，所以所有数字的和是9的倍数，为了使得位数尽可能少，只能是4个2和1个1，这样得到1222200。
【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与
学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注
意人数是减去1后是3的倍数)：1?312，312?1?311不是3的倍数；2?156，156?1?155不是3的倍数；3?104，104?1?103不是3的倍数；4?78，78?1?77不是3的倍数；6?52，52?1?51是3的倍数；8?39，39?1?38不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了6棵树.
【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，
共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？
【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把1073数相乘，一个数为人数一
个数为每人种的棵数，1073?29?37，注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了29棵。
5-2.数的整除.题库 教师版 page 3 of 12 【例 10】 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可
能的小。 【解析】 方法一：设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满
足以下三个条件：
第一：数字和(8?6?5?a?b?c)是3的倍数；
第二：末两位数字组成的两位数bc是4的倍数； 第三：末位数字c是0或5。
由以上条件，4| bc，且c只能取0或5，
又?能被4整除的数的个位数不可能是5， ∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。 又?3| 865ab0，且（8+6+5）除以3余1，∴a?b除以3余2。 为满足题意“数值尽可能小”，只需取a?0，b?2。∴要求的六位数是865020。
方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000进行试除分别被3、4、5整除，就是被60整除，865000?60?14416?40，所以865000?20?865020能被60整除 ∴要求的六位数是865020。
【巩固】 在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少? 【解析】 7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除524000?504?1039?344，所以所得六
位数是524000?344?523656，或523656?504?523152．因此三个数字的和是17或8．
【巩固】 要使15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么a,b,c分别是多少？ 【解析】 分解为互质的几个数的乘积，36?4?9分别考虑所以c6能被4整除,从而c只可能是1，3，5，7，
9.要使商最小，a,b应尽可能小，先取a?0，又1?5?6?a?b?c?12?b?c，所以3?b?c是9的倍数所以b?1，c?5时，取得最小值.
【例 11】 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能
被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？
【解析】 本题采用试除法。
因为3，5，7，13的最小公倍数为1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645
(100000〔1365=73……355，100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。
有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185． 所以，满足题意的5位数最大为94185．
【巩固】 请求出最大的七位数，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位数字互不相同，这个七位数是
多少？
【解析】 解法一：
因为7〓11〓13＝1001，999〓1001＝999999不是七位数，这个七位数是1001〓abcd＝abcd000＋abcd，如果c不是9，那么b就会重复，所以c＝9，因为是5的倍数，所以d＝5，要使最大，先假设a＝8时，b取8，5，2都不符合要求，当a＝7时，b取9，6，3，0中3符合要求，所以最大的是7402395分析题意知，这个七位数是7〓11〓13＝1001的倍数，根据1001的特点， 解法二:
假设这个七位数是abcdefg，满足abcd－efg＝n00n，很容易得出c＝0，f＝9，b和e相差1，如果g＝0，那么a＝d，所以g＝5。假设a＝8，那么d＝3，b和e就是2，1或者7，6，经检验都不符合要求。假设a＝7，那么d＝2，b和e就是4，3，经检验刚好可以。这个七位数是7402395.
【例 12】 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【解析】 本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743〔823=38……469，
于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823〓2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．
【例 13】 某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成
11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？
5-2.数的整除.题库 教师版 page 4 of 12
相关推荐：
loading