【解析】 本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶
数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单，以连续9个奇数为例子：
我们可以令连续9个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4则他们的和为9a，即为9的倍数。对于连续10个自然数，可以为a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5 则它们的和为10a+5=5（2a+1），即是5的倍数且除以5后商是奇数。
所以本题中要求的数是5，9，11的最小公倍数的倍数即495的倍数，最小值即495.
【巩固】 a是一个三位数.它的百位数字是4，a?9能被7整除，a?7能被9整除，问a是多少？
a?9能被7整除，说明a?9?7?a?2能被7整除；a?7能被9整除，说明a?7?9?a?2能被【解析】
9整除；7?9?63，则63?2?61符合上述两个条件.(因63?2?61，则a可以写成这样的形式：a?63???61).又a是一个百位数字是4的三位数，估算知，a?63?6?61?439.
【巩固】 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续
自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.
【解析】 3个连续自然数的和，一定能够被3整除；4个连续自然数的和，一定能够被2整除，且除以2
所得的商是奇数，也就是说它不能被4整除，除以4所得余数为2；5个连续自然数的和，一定能够被5整除．3、2、5的最小公倍数是30，所以满足上述三个条件的最小的数是30．3、4、5的最小公倍数是60，所以60的整数倍加上30就可以满足条件．700?60?11?40，所以第一个符合题意的数是750?60?12?30，最大的一个数是990?60?16?30，共计16?12?1?5个数，分别为750、810、870、930、960．
【例 14】 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 【解析】 因为168=8〓3〓7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．
能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由例8知abcabc形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，□□□688的□不管怎么填都得不到7的倍数．
至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值。
所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．
【例 15】 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以
667的结果是多少？
【解析】 本题考察对数字667的特殊认识，即667〓3=2001。
本题要求用4，5，6，7，8，9组成一个667的倍数，其实发现4，5，6，7，8，9组合出的数一定是3的倍数，那么只要考虑组成一个2001的倍数即可，而2001的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是900多的数字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478〔667=1434。
【例 16】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一
个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，?，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？
【解析】 这个十全数能被10整除，个位数字必为0；能被4整除，十位数字必为偶数，末两位只能是20．设
这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之
和的差能被11整除，即8?6?b?d?0?(4?7?a?c?2)?b?d?1?(a?c)被11整除，可能是b?d?1?a?c?11、b?d?1?a?c、b?d?1?11?a?c．由于a、b、c、d四个数分别为1、3、5、9中的一个，只能是b?d?1?a?c?11，即b?d?a?c?10．所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一个．由于它能被7、13、17整除，经检验，只有4876391520符合条件．
【例 17】 把若干个自然数1、2、3、??连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那
么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？
【解析】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由
5-2.数的整除.题库 教师版 page 5 of 12 于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要
5?5?1，10?5?2，15?5?3，20?5?4，25?5?5，30?5?6，观察因数5的个数就可以了．……，
发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11?2?13个因数5，所以至少应当写到55，最多可以写到59．
【巩固】 从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？ 【解析】 首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以
产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有7?4?2?1?14个0．
975?935?972??，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？ 【巩固】
【解析】 积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．975?5?5?39，
935?5?187，972?2?2?243，共有3个5，2个2，所以方框内至少是2?2?5?20．
【巩固】 11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？ 【解析】 因为343?73，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必
须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．
【巩固】 把若干个自然数1、2、3、??连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么
最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？
【解析】 1到10的乘积里会出现2?5和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是40?8?1?49个0，
还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．
【例 18】 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同
学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．
【解析】 第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初
编号都是112?121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是113?1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331
【例 19】 在1、2、3、4??2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。 【解析】 本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得2008+a能被2007-a整除，我们
2008?a可以将条件等价的转化为只要让是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道
2007?a2008?a若a可以使得是一个整数，那么a也同样可以使得
2007?a2008?a2008?a?2007?a4015是一个整数，这样只要2007-a是4015的约数即可，?1??2007?a2007?a2007?a将4015分解可知其共有8个因数，其中4015是最大的一个，但是显然没有可以让2007-a等于4015的a的值，其余的7个均可以有对应的a的值，所以满足条件的a的取值共有7个。
【例 20】 以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的
差能否被11整除.
142857?1?100000?4?10000?2?1000?8?100?5?10?7?1 【解析】
?1?(100001?1)?4?(1?9999)?2?(1001?1)?8?(1?99)?5?(11?1)?7?1 ?(1?100001?4?9999?2?1001?8?99?5?11)?(4?1?8?2?7?5)
5-2.数的整除.题库 教师版 page 6 of 12 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断4?1?8?2?7?5?(4?8?7)?(1?2?5)能否被11整除，因此结论得到说明.
【巩固】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.
142857314275?142?1000000000?857?1000000?314?1000?275 【解析】
?142?(1000000001?1)?857?(999999?1)?314?(1001?1)?275 ?142?1000000001?142?857?999999?857?314?1001?314?275 ?(142?1000000001?857?999999?314?1001)?(857?142?275?314)
因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857?142?275?314能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.
【例 21】 已知两个三位数abc与def的和abc?def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除． 【解析】 abcdef?abc?1000?def?abc?999?(abc?def)，因为999能被37整除，所以abc?999能被37
整除，而(abc?def)也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef能被37整除．
【巩固】 如果abcde能被6整除，那么2(a?b?c?d)?e也能被6整除． 【解析】 ∵6?2?3
∴2|abcde
∴2|e ∴6|3e
∵3|abcde ∴3|a+b+c+d+e ∴6|2(a+b+c+d+e) ∴6|2(a+b+c+d+e)-3e ∴6|2（a+b+c+d）-e
【巩固】 若4b?2c?d?32，试问abcd能否被8整除?请说明理由． 【解析】 由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可. bcd?100b?10c?d，有
而4b?2c?d?32也能被8整除，所以abcdbcd?(4b?2c?d)?96b?8c?8(12b?c)能被8整除，
能被8整除.
【例 22】 两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B.
【解析】 考虑到72?8?9，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B?2；四位数2752各位
数字之和为2?7?5?2?16不是3的倍数也不是9的倍数，因此A275必须是9的倍数，其各位
数字之和A?2?7?5?A?14能被9整除，所以A?4.
【巩固】 若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是多少？ 【解析】 因为15是3和5的倍数，所以9a8a既能被3整除，也能被5整除．能被5整除的数的个位数字
是0或5，能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数．当a?0时，9?a?8?a?17，不是3的倍数；当a?5时，9?a?8?a?17，是3的倍数．所以，a代表的数字是5
【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的
数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3和16所整除．试问密码是多少？
【解析】 密码由7位数字组成，如果有两个3的话，那么至少是2?3?4?9位数，与题意不符；只有一个
3的话，那么至少有两个2.如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1?3?4?8个数字，与题意不符，所以2只有两个，1有四个，如此，各数位数字和为4?4?3?11，不是3的倍数，所以密码中没有3，只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222满足条件，其中2222112的2多于1，应予排除，所以这个密码是1112112.
5-2.数的整除.题库 教师版 page 7 of 12
【巩固】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目
比3多，而且密码能被3和4所整除．试求出这个密码．
【解析】 密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个．当2有4个时，密码的数字和为17；当2
有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14．由于一个数能被3整除时，它的数字和也能被3整除，所以密码中2应当有6个，这样3就只能有1个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是32．所以，密码是2222232．
【例 24】 一个19位数77????770444????44能被13整除，求О内的数字． ????????9个9个【解析】 ∵13|77????770444????44，∴13|77????770444，∴13|7777770000000+7770444 ????????????9个9个9∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|7770444，∴13|7770?444
∵444?13?43?2，∴13|7770?2，∴设7770=7770 7770?13?597?9，∴0?13?(9?2)?6
【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数66?6?55?5可被7整??????50个650个5除？ 【解析】 由于111111?111?1001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变
55”2 ”可被7整其对7的整除性，于是还剩下“66？．从中减去63035，并除以100，即得“3？除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？处应填2或9.
【例 25】 多位数20092009，能被11整除，n最小值为多少？ ?2009736?????????n个2009【解析】 奇数位数字之和为6?7?2n，偶数位数字之和为3?9n，这个多位数整除11，即
(3?9n)?(6?7?n2?)n7?能整除111，n最小取3．
【巩固】 20092009?200909?????????能被11整除，那么，n的最小值为多少？
n个2009【解析】 20092009?200909?????????中奇位数减偶位数的差为(9?2)?n?9?7n?9，当n?5时，(7n?9)是11的
n个2009倍数，所以n的最小值是5.
【例 26】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：5ab5ab??5?ab.??????2009个5ab如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？
【解析】 因为91?7?13，所以5因为能被7和13整除的特点是末三位ab5ab??5?ab也是7和13的倍数，??????2009个5ab和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知5ab5ab??5?ab?5ab?5ab5ab??5?ab000也是7和????????????2008个5ab2007个5ab13的倍数，即5ab5ab??5?ab也是7和13的倍数，依次类推可知5ab5ab??5?ab末三位和前面????????????2007个5ab2007个5ab数字的差即为：即55ab5ab??5?ab?5ab?5ab5ab??5?ab000也是7和13的倍数，ab5ab??5?ab??????????????????2006个5ab2005个5ab2005个5ab也是7和13的倍数，由此可知5ab也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数字
是：91?6?546，所以ab?46.
【例 27】 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的
反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
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