三角形培优练习
题
1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A B
D
C
2已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A 2 1 B E A 1 2 F C D E B
3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
C F D C
B
D
5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
6如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 7已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
A D 8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：
PC-PB B C 1 / 6 9已求DC A A PEDC 知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7， D P F E B CC B 10．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交D AP于D．求证：AD+BC=AB． 11如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A12如图：AE、 ABBC交于点M，F CDB点在AM上，BE ∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 A 13已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。 FBE求证：BE=CD． MC14在△ABC中，?ACB?90?， AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转 C D F 到图1的位置时， 求证： ①?ADC≌?CEB；②DE?AD?BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. B E A 15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF 16．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 A E 17．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的 C 垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ M ADC＝∠BDE． B D F 2 / 6 A 图9 E F C B 全等三角形证明经典（答案） 1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE 2证明：连接BF和EF。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED。所以∠ABE=∠AEB。所以 AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。3 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 4证明：在AC上截取AE=AB，连接ED ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 5证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 3 / 6 又因为AC＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS）所以AD＝AF 所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE 6证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A。 AB平行于CD,则:∠A+∠D=180°。 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D。 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD. 7证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC是等腰三角形所以：角B=角C. 8作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，C B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因为PC P D 9作AG∥BD交DE延长线于G AGE全等BDE B AG=BD=5 AGF∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 10证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°， 又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 11证明：在AB上找点E，使AE=AC ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD ∴△ADE≌△ADC。DE=CD，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B 12证明：∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM 4 / 6 ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 13证明：因为 AB=AC，所以∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BE＝CD 14 （1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD； （2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE； 15 （1）证明。因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF 角ECA=角F （2）延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF 因为角CAF=90度所以EC垂直BF 16在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 17证明：作CG平分∠ACB交AD于G ∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45° 5 / 6
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