【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值． 【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ， 双曲线的渐近线为y=±x， 可得|MN|=
，
由勾股定理可得|ON|=
==，
可得|ON|?|MN|=?==．
故选：B．
12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f （x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）A．7
D．2 【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和． 【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称， ∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称， ∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2）， ∴f（x）是以2为周期的函数，
∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2， 又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称， ∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．
作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：
B．6
C．3
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由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点． ∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，
设这6个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，
则x1，x2关于x=0对称，x3，x4关于x=1对称，x5，x6关于x=2对称． ∴x1+x2=0，x∴x1+x2+x
+x4=2，x5+x6=4， +x4+x5+x6=6．
故选：B．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x+4 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣
+3，
则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1， ∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5）， 则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4， 故答案为：y=x+4
14．已知平面向量与的夹角为
， =（1，
），|﹣2|=2
．则||= 2 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出． 【解答】解：||=2，∵|﹣2|=2
，∴（
=||||cos
）2=
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=||，
，
即4||2﹣4||+4=12，解得||=2． 故答案为：2．
15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在
椭圆C上，则椭圆C的方程为 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆的方程为
+
+=1 ．
=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直
线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程． 【解答】解：设椭圆的方程为由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，
设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n）， 可得
=﹣2，且n=?
， +
=1（a＞b＞0），
解得m=，n=，即对称点为（，）． 代入椭圆方程可得解得a2=，b2=，
+
=1，
可得椭圆的方程为+=1．
故答案为：
+=1．
16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为 ． 【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．
【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）
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=sinA，
即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC， ∴2b=a+c=4，∴b=2． ∵a+c=4，∴a=4﹣c．
=∴S=
∵（3﹣c）（c﹣1）≤
=1，
∴S≤．
故答案为：．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N） （I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； （II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出． 【解答】解：（I）∵an+1=2Sn+3，∴当n≥2时，an=2Sn﹣1+3， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，化为an+1=3an． ∴数列{an}是等比数列，首项为3，公比为3． ∴an=3n．
（II）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）?3n，
∴数列{bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）?3n， 3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）?3n+（2n﹣1）?3n+1， ∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）?3n+1=2n）?3n+1﹣6，
∴Tn=（n﹣1）?3n+1+3．
18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：
2 3 4 5 6 7 学生序号i 1
数学成绩
60 65 70 75 85 87 90
xi
物理成绩
70 77 80 85 90 86 93
yi
（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）； 若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
﹣3﹣（2n﹣1）?3n+1=（2﹣
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