考研数学三真题及答案

【解析】

二次积分的积分区域为

??={(??,??)|0≤??≤1,??≤??≤1}={(??,??)|0≤??≤1,0≤??≤??} 交换积分次序得

101??∫????∫(

????????2210

0

x

?????)????=∫????∫(

??????10

2?????)????

21

=∫(??0

??2?∫??0??21

????)????=∫??0

??2??0?????∫(∫????????)????

21

=∫??0

??2??1

?????(??∫??0??210

????)|+∫??????????

0

21

=∫??0

??21

?????∫??0

??21??21e?1

????+??|= 220【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系

(13)设二次型??(??1,??2,??3)=??12???22+2????1??3+4??2??3的负惯性指数为1，则??的取值范围是 。

【答案】[?2,2]

【解析】

由配方法

??(??1,??2,??3)

=??12+2????1??3+??2??32?(??22?4??2??3+4??32)+4??32???2??32

=(??1+????3)2?(??2?2??3)2+(4???2)??32 负惯性指数为1，故4???2≥0，解得??∈[?2,2] 【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形

设总体??的概率密度为

2????(??;??)={3??2,??

其中??是未知参数，??1,??2,?????为来自总体??的简单随机样本，若

??(??∑????=1??2??)=??2,则c= 。

【答案】

25??

【解析】

??(??∑??2??2????=1??2??)=c∑????=1????2??=????????2=????∫??3??2????=???? ??2,

解得c=25?? 【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念

52??2=

(14)三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)求极限

??1(????????????→+∞[??∫12?1)???]????1??2?????(1+)

?? 【解析】

【方法1】

1??2??[??(???1)???]????∫1????????→+∞??2ln(1+)

1??=

=????????→+∞1??2??[??(???1)???]????∫11??2?

??1?? (等价无穷小代换)

=??????[??(???1)???] (洛必达法则)

2??→+∞ =

1?????1????????? (变量代换

??2????→0+

=??)

=

?????1?????? (洛必达法则) 2????→0+1 =2 【方法2】

1??2??[??(???1)???]????∫11??2ln(1+)??????????→+∞=

=????????→+∞1??2[??(?????1)???]????∫11??2?

??1?? (等价无穷小代换)

=??????[??(???1)???] (洛必达法则)

2??→+∞ =??????[??2(??+2!??2+??(??2))???] (泰勒公式)

??→+∞111 =2

【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开

(16)设平面内区域??={(??,??)|1≤??2+??2≤4,??≥0,??≥0},计算

1?

??????????(??√??2+??2)

??+?????????? 【解析】

【方法1】令??=??????????,??=??????????,

????????(??√??2+??2)

??+????2 ??? =∫0??2????????=∫0????????????????+????????2????∫???????? ???????? 12????????1

|2?????(????????? ????1????????+????????π

π

2

+∫1?????? ????????)

=?π∫0又I=

π2

3

???????????? ????????+??????????2????????∫0????????+??????????????????????+????????2=∫0???? 令??=

????????+????????sin???????) 2 =2∫01

????=4 ????????+????????π

所以???????????(??√??2+??2)

??+??????????=?

3???

π4

=?

4

3

【方法2】

显然积分区域D关于??,??有轮换对称性，于是

????????(??√??2+??2)

??+??????????(??√??2+??2)

??+?????1

????????=???????????

=2[???12

????????(??√??2+??2)

??+??????????+???????????(??√??2+??2)

????????] ??+??2+??2)???????? =?????????????(√??π

2????=∫???????? ???????? ∫0112

2=2∫0?????π(????????? ????|2?????? ????????) 1+∫1=????

3π4

1

π

2

12=?4

3

【考点】高等数学—二重积分—利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分

(17)设函数??(??)具有连续导数，且??=??(????????????)满足

?????????????????????????????=(4??+????????????)???? 若??(0)=0,求??(??)的表达式。

【解析】

利用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数，代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程。