考研数学三真题及答案

来源：用户分享时间：2025/9/28 14:53:56 本文由

loading 分享下载这篇文档手机版

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全，需要完整文档或者需要复制内容，请下载word后使用。下载word有问题请添加微信号:xxxxxxx或QQ：xxxxxx 处理（尽可能给您提供完整文档），感谢您的支持与谅解。

因为

??????=??′(????????????)????????????,

??????=???′(????????????)????????????

所以

?????????????????????????????

=??????????′(????????????)????????????+??????????′(????????????)???????????? =??′(????????????)????

??????因此???????????????????????=(4??+????????????)????化为

??′(????????????)????=(4??+????????????)???? 从而函数??(??)满足方程

??′(??)=4??(??)+?? 一阶线性非齐次微分方程可得方程通解为 ??(??)=??e4???由??(0)=0,解得 ??=16 故 ??(??)=16e4???

1??4

??4

?16 1

1?16 1

【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解

??(18)求幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域及和函数

【解析】

【方法1】

11?????因为几何级数∑∞??=0??=

,且收敛域为??∈(?1,1)

??又∑∞??=0(??+1)(??+3)??

∞∞=∑(??+1)(??+2)????+∑(??+1)???? ??=0∞′′

??=0∞=(∑????+2)

??=0′′

+(∑????+1)′

??=0′

??2=()

1?????′2?????21+()=[]+

(1???)2(1???)21???3???=， ??∈(?1,1) (1???)3??由幂级数的逐项求导性质知∑∞??=0(??+1)(??+3)??的收敛域为(?1,1)，和函数

??(??)=(1???)3 ,??∈(?1,1) 【方法2】

3?????幂级数∑∞??=0(??+1)(??+3)??的系数????=(??+1)(??+3), 又

????????→∞????+1????(??+2)(??+4)

=??????=1 ??→∞(??+1)(??+3)

所以收敛半径 ??=1

??∞当??=1时，∑∞??=0(??+1)(??+3)??=∑??=0(??+1)(??+3)发散；

????∞当??=?1时，∑∞??=0(??+1)(??+3)??=∑??=0(??+1)(??+3)(?1) 发散；

故收敛域为??∈(?1,1)

??设 ??(??)=∑∞??=0(??+1)(??+3)??，??∈(?1,1) 则

∞∞∞??0∞∫??(??)????=∑(??+3)????+1=∑(??+2)????+1+∑????+1 ??=0??′

??=0∞′??=0=[∑∫

??=00(??+2)????+1????]

??????+2+=(∑??)+ 1???1?????=02?????2??3???2??2=+= (1???)21???(1???)23???2??2[(1???)2]′

故和函数 ??(??)=

=(1???)3 ,??∈(?1,1)

3???【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和

(19)设函数??(??),g(??)在区间[??,??]上连续，且??(??)单调增加，0≤g(??)≤1。证明： (I)0≤∫??g(??)????≤?????,??∈[??,??];

??+∫g(??)??????????(II)∫????(??)????≤∫??(??)g(??)????. ????【解析】

(Ⅰ)由0≤g(??)≤1得

得0≤∫??g(??)????≤∫??1????≤?????,??∈[??,??]；

????(Ⅱ)令??(??)=

????+∫g(??)??????(??)???? ∫????(??)g(??)?????∫??????显然??(??)=0,只要证明??(??)单调增且??(??)≥0,

????′(??)=??(??)g(??)???(??+∫g(??)????)g(??)

???? =g(??)[??(??)???(??+∫??g(??)????)]

由(Ⅰ)的结论0≤∫??g(??)????≤?????知，??≤??+∫??g(??)????≤??即

??????≤??+∫g(??)????≤??

????又??(??)单调增加，则??(??)≥??(??+∫????(??)????),因此，??′(??)≥0,

????(??)≥0.

??+∫g(??)????????故 ∫????(??)????≤∫??(??)g(??)????. ????【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题 1

(20)设??=[0

?231 ?120

1]，??为三阶单位矩阵 ?3

(I)求方程组????=??的一个基础解系；

(II)求满足????=??的所有矩阵??。

【解析】

(Ⅰ)对矩阵??做初等行变换，得

1??=[0

1?23?411 ?11]→[020?30?23

1 ?101?411]→[0?3000

1 0011?2] ?3

因?????(??)=4?3=1,令??4=1求出??3=3，??2=2，??1=?1 故基础解系为??=(?1,2,3,1)T （Ⅱ）考察3个非齐次线性方程组

100

????=[0], ????=[1], ????=[0]

001

由于这三个方程组的系数矩阵是相同的，所以令??=(?????)做初等行变换

1??=(?????)=[01?231 ?1?4 1201|0?3001000] 11?23?4 100 →[01 ?11|010]

04?31?1011?23?4 100 →[01 ?11|010]

001?3?1?411?205 412?3 →[01 0?2|?1?31]

001?3?1?411001 261

→[01 0?2|?1?31]

001?3?1?41由此得三个方程组的通解：

(2,?1,?1,0)??+??1??

搜索更多关于：考研数学三真题及答案的文档

考研数学三真题及答案.doc 将本文的Word文档下载到电脑，方便复制、编辑、收藏和打印

下载这篇word文档

本文链接：https://www.diyifanwen.net/c65ahp3ofud9bpag891bi6tck19hpxv003gm_4.html（转载请注明文章来源）