大学物理课后题答案8

8-10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度)?

[解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和

1mol氧气。设温度为T， 26RT?3RT 251mol氢气的内能 E2?RT

21155mol氧气的内能 E3??RT?RT 22243所以 ?E?E2?E3?E1?RT

41mol水蒸气的内能 E1?所以内能增加的百分比为

?E?100%?25% E1

8-11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比。

[解] 根据题意，由麦克斯韦分布定律

?N4?m????N??2kT?又 vp?32e?mv22kTv2?v

2kT m?v???3??vp????2所以

?N4?vpeN?v2?v??4??v?e????vp?2?v???vp?????2?v vpvp??vp???????0.02vp 在vp附近，v?vp ?v??vp???vp??100??100????N4??e?1?0.02?1.66% N?

8-12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义：

(1) f(v)dv；(2) Nf(v)dv；(3)

???21f(v)dv；(4)?Nf(v)dv；(5)?vf(v)dv。

?1?2?2?1[答] f(v)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

(1) f(v)dv表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；

(2) Nf(v)dv表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数；

(3)

???21f(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内

的分子数占总分子数的百分比；

8-5

(4) (5)

???21Nf(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数；

vf(v)dv无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平均

???21值的贡献。

8-13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当v>2v0时，f(v)?0，求： (1)常数a；

(2)速率大于v0和小于v0的粒子数；

(3)分子的平均速率。

[解] (1) 由归一化条件知曲线下的面积 S?所以

1v0a?v0a?1 223 v0a?1 得到 a?3v02111v0a?，所以粒子数为 N1?N0 23322v>v0时，曲线下的面积 S2? ，所以粒子数为 N2?N0

33(2) v

由图知 f1?v??av f2?v??a v0所以 v?

?0v022v0ava3a2112110vdv??avdv??v0?avv0 0?v0v0326928-14 容积为30?10?3m3 的容器中，贮有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N，则有N?该气体分子质量为 m?最概然速率为

pV kTMkT?M NpV2pV2kT2kTpV2?50.7?103?30?10?32 vp?????3.89?10ms ?3mMkTM20?10平均速率为

8-6

pV8kTkT50.7?103?30?10?32 v??1.60?1.60?1.60??4.39?10ms ?3?mmM20?10方均根速率

pV3kTkT50.7?103?30?10?3v??1.73?1.73?1.73??4.77?102ms ?3mmM20?102

8-15 质量为6.2?10?14kg的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为1.40cm/s。

(1)计算阿佛加德罗常数。

(2)设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率。

[解] (1) 由方均根速率公式

v2?3RT3RT 得到 Mmol?

2Mmolv阿佛加德罗常数为 N0?Mmol3RT3?8.31?30023???6.15?10mo l2?22?17Mvm1.4?10?6.2?10??(2) v?8RTRT ?1.60?MmolMmol3RTRT ?1.73MmolMmol而

v2?所以 v?

1.6021.60v??1.40?10?2?1.30?10?2ms 1.731.73?21?1?8-16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值?? 。(?xe?bxdx?)。

02b?v?32mv22kTv2?m?[解] f?v??4????2kT??e?

32mv22kTv2dv321211?m??1?f?v?dv??4???????0v0vv2kT?????e??m??4???2kT??2kT?2m???? 2m??kT?

8-17 大气压强随高度的变化规律为p?p0exp(?Mmolgh)。拉萨海拔约3600m，设大气温RT度为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是29?10?3kg/mol。海平面处大气压为1atm。

8-7

[解] 拉萨大气压强为 p?1?e?2p?10?3?9.8?36008.31?300atm=0.663atm

8-18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果(海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K)。

?Mgh?[证明] 因为大气压强随高度变化规律为 p1?p0exp??mol?

RT???Mg?h??h??升高?h后大气压为 p2?p0exp??mol?

RT???Mg?h??h??p2?p0exp??mol?

RT??所以

?Mgh???Mg?h???p?p2?p1?p0exp??mol??exp??mol??1?RTRT????????29?10?3?9.8?10????1??0.95mmHg?760?1??exp????8.31?273??????

8-19 重力场中粒子按高度的分布为n?n0e?mgh/kT。设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半。

[解] 由p?nkT知，当大气压强减为原来的一半时，n?n02 由 n?n0e?mgh/kT得，e?mgh/kT?即 h?1 2ln2?kTln2?RTln2?8.31?300???6080m mgMmolg29?10?3?9.8

8-20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径为

3.5?10?10m，空气平均摩尔质量为 29?10?3kg/mol。

[解] 平均自由程

??12?dn2?kT2?dp2?1.38?10?23?2732?3.14?3.5?10??102??1.013?105?6.9?10?8m

平均碰撞频率

Z?2?d2vn?2?d2pp8RTRT??2?d2vn?2?d21.60??MmolkTMmolkT?2?3.14?3.5?10?10?1.60???8.31?2731.013?109?1??6.2?10s?3?2329?101.38?10?2738-8

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