【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0.31=0,n=log20.6
因为-=-2log0.62=log0.60.25>0,而log0.60.25>log0.60.3,
=log0.60.3>0,
所以->>0,即m+n>0,
因为(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn. 考点三 一元二次不等式恒成立问题 命 题 精 解 读 1.恒成立问题的解题思路 学 (1)利用等价条件直接求范围 霸 (2)分离参数后转化为最值问题 好 (3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题 方 (4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题 法 2.交汇问题: 与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题. 在R上的恒成立问题
【典例】若关于x的不等式x-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围为 .
【解析】设f(x)=x-ax-a,则关于x的不等式x-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)?f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立?Δ=(-a)-4×1×(-a)=a+4a<0,解得-4 在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么? 提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解. 给定区间上的恒成立问题 - 5 - 2 2 2 2 2 1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想. 2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题. 【典例】若不等式x≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-3]∪[0,+∞) B.[-3,+∞) C.[-3,0] 2 2 D.(-∞,-3] 【解析】选D.因为不等式x≥m+4x,在[0,1]上恒成立, 所以只需m≤(x-4x)min,x∈[0,1], 令f(x)=x-4x=(x-2)-4,x∈[0,1], 所以f(x)min=f(1)=-3, 所以m≤-3. 定区间上的恒成立问题如何解? 提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法. 给定参数范围的恒成立问题 【典例】(2020·六安模拟)若不等式x+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 A.[-1,3] C.[3,+∞) ( ) B.(-∞,-1] D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 2 2 2 2 2 【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B; 当x=3时,由x+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C; 方法二:转换变元法:不等式变为 p+x-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立, 2 2 所以 解得x<-1或x>3. 即 1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 A.(-3,2) C.(-2,2) ( ) B.(-1,2) D.(1,2) 2 2.已知关于x的不等式x-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 . - 6 - 【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4, 即m2 +m-4 -x; 设f(x)=x2 -x,x∈[1,2], 则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2; 令m2 +m-4<2,即m2 +m-6<0, 解得-3 所以实数m的取值范围是(-3,2). 2.关于x的不等式x2 -x+a-1≥0在R上恒成立, 所以二次函数的图像与x轴最多有一个交点, 所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0, 解得a≥,所以a的取值范围为. 答案: 1.关于x的不等式x2 -ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是 . 【解析】由题得a≥=(x-1)++2 因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1, 所以(x-1)++2 =-+2≤2-2=-2, 当x=-1时得到等号.所以a≥-2. 答案:a≥-2 2.要使不等式x2 +(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1恒成立,则x的取值范围为 . 【解析】不等式x2+(a-6)x+9-3a>0 - 7 - 变形为(x-3)a+x2 -6x+9>0, 设f(a)=(x-3)a+x2 -6x+9, 由|a|≤1,得-1≤a≤1, 则不等式恒成立,只需 即 解得 所以x<2或x>4. 答案:(-∞,2)∪(4,+∞) - 8 -
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