23．证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， ∴AE＝DE，BD＝CD 在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD， ∴AF＝CD，且AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BC＝CD， ∴四边形ADCF是菱形． 五．解答题（共2小题，20分） 24．证明：（1）∵AB是直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD， ∴∠CAD＝∠ABD， ∴∠CAD+∠DAB＝90°， ∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC，且AO是半径， ∴AC为⊙O的切线； （2）∵DE2＝EF?EA，
∴，且∠DEF＝∠DEA，
∴△DEF∽△AED， ∴∠EDF＝∠DAE， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AE平分∠BAD；
（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，
∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°， ∴DF＝FH＝2，
∵S△ABF＝AB×FH＝×BF×AD， ∴2AB＝4BF， ∴AB＝2BF，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2， ∴（2BF）2＝（2+BF）2+16， ∴BF＝∴AB＝
，BF＝﹣2（不合题意舍去） ，
．
∴⊙O的半径为
25．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， 即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2， 则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD ＝
（﹣x2﹣x+2）
×2×（﹣x）﹣
＝﹣x2﹣3x+2， ；
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2， N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E， ∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O， ∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1， ∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F， 即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝
（舍去负值），
则点N1（，）；
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