（完整word版）2018年上海高考数学真题和答案 - 图文

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．

【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．

【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．

【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，

∴圆锥的体积V==

．

=

.. ..

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°， M为线段AB的中点，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系，

P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0）， M（1，1，0），O（0，0，0）， =（1，1，﹣4），

=（0，2，0），

设异面直线PM与OB所成的角为θ， 则cosθ=∴θ=arccos

．

．

=

=

．

∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos

【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．

.. ..

（1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（

）=

+1，求方程f（x）=1﹣

在区间[﹣π，π]上的解．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．

【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形． 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），

∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（∴asin∴a=

）=

+1， ）=a+1=

+1，

+2cos2（，

∴f（x）=sin2x+2cos2x=

， ）+1=1﹣）=﹣

，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣∴2sin（2x+∴sin（2x+∴2x+∴x=﹣

=﹣

，

+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

.. ..

∵x∈[﹣π，π]， ∴x=

或x=

或x=﹣

或x=﹣

【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．

19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）=

（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．

【考点】5B：分段函数的应用．

【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；

（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）=2x+

﹣90＞40，

.. ..