2014年高考数学第一轮复习：算法、复数、推理与证明

2014年高考数学第一轮复习：算法、复数、推理与证明

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误

2．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( ) INPUT xS＝0i＝1DO S＝S＋x i＝i＋1LOOP UNTIL a＝S/20PRINT aENDA．i>20 B．i<20 C．i>＝20 D．i<＝20 3．设i为虚数单位，复数z1＝1－i，z2＝2i－1，则复数z1·z2在复平面上对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是( )

A．若f(3)≥9成立，则对于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)

a＋bab

C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”

ccc

nnnnn

D．“(ab)＝ab”类推出“(a＋b)＝a＋bn”

6．某程序框图如图D11－1所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )

图D11－1

1

A．f(x)＝x2 B．f(x)＝

x

x

C．f(x)＝e D．f(x)＝sinx

7．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a、b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a、b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a、b、c、d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“a、b、c、d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a、b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a、b∈C，则a－b>0?a>b”； ④“若x∈R，则|x|<1?－1

8．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A．6＋6·7k B．3(2＋7k)

＋

C．2(2＋7k1)

－

D．8＋7k1

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡相应位置) 9．如果复数(2＋ai)i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于________． 10．已知复数z满足(1＋3i)z＝1＋i，则|z|＝________.

1111113111

11．观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋?＋＞，1＋＋＋?＋＞2,1

22323722315

1115

＋＋＋?＋＞，?，由此猜测第n个不等式为____________(n∈N*)． 23312

12．现有一个关于平面图形的命题：如图D11－2，同一个平面内有两个边长都是a的

a2

正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比

4

到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

图D11－2

13.给出下面的数表序列：

表1 1

表2 1 2 2

表3 1 2 2 22 22 22

其中表n(n＝1,2,3，?)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为an，例如a2＝5，a3＝17，a4＝49.则

(1)a5＝________；

(2)数列{an}的通项an＝__________.

14．电子跳蚤游戏盘是如图D11－3所示的△ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8.如果跳蚤开始是在BC边的P0处，BP0＝2，跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2，?，跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn(n为正整数)，则点P2011与P2014间的距离为________．

图D11－3

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)若z∈C，且|z|＝1，求|z－i|的最大值．

16．(13分)大小不等的三个圆两两外切，半径成等差数列，试证明以各圆圆心为顶点的三角形的三内角不可能成等差数列．

2?cosα－sinα?cosαsinα

17.(13分)证明：＝－.

1＋sinα＋cosα1＋sinα1＋cosα

11

18．(14分)若a>0，求证：a2＋2－2≥a＋－2.

aa

19．(14分)请观察思考如下过程：

23－13＝3·22－3·2＋1,33－23＝3·32－3·3＋1，?，n3－(n－1)3＝3n2－3n＋1， 把这n－1个等式相加得n3－1＝3·(22＋32＋?＋n2)－3·(2＋3＋?＋n)＋(n－1)，由此得

1

n3－1＝3·(12＋22＋32＋?＋n2)－3·(1＋2＋3＋?＋n)＋(n－1)，即12＋22＋?＋n2＝

3

?n3－1＋3n?n＋1?－?n－1??.

2??

(1)根据上述等式推导出12＋22＋?＋n2的计算公式； (2)类比上述过程，推导出13＋23＋?＋n3的计算公式．

20．(14分)在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范围；

(2)判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；

111bn－cn1＋???1＋n?，cn＝6?1－n?，求证：对任意的n∈N*，(3)设bn＝(1＋1)?≥0. ?2??2??2?an－12