2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题） 1．（2012?绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，
2+
2）时，f（x）=﹣x+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N）且{an}的前n项和为Sn，则A．3
B．
=（ ） C．2
D．
考点： 数列的求和；数列的极限． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出an，然后求出Sn，即可求出极限． 解答： 解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=， 所以an=，Sn=，== 故选D 点评： 本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力． 2．（2010?安徽）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ）
2
A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X） 考点： 等比数列． 专题： 压轴题． 分析： 取一个具体的等比数列验证即可． 解答： 解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足． 故选D 点评： 对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除． 第5页（共20页）
3．（2005?广东）已知数列{xn}满足x2=则x1=（ ） A．
B．3
C．4
D．5
，xn=（xn﹣1+xn﹣2），n=3，4，…．若
=2，
考点： 数列的求和；数列的函数特性． 专题： 压轴题． 分析： 要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限 解答： 解：∵令n=3， 得得∴， ，令n=4， ， ，…，于是xn=x1+（x2﹣x1）+…+（xn﹣xn﹣1）= ∴，x1=3．故选B 点评： 求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法． 4．（2012?上海）设an=sin
，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100 考点： 数列的求和；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断 解答： 解：由于f（n）=sin的周期T=50 由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0 且sin
，sin…但是f（n）=单调递减 第6页（共20页） a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24 ∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正 同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正， 故选D 点评： 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用． 5．（2007?陕西）给出如下三个命题： ①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc； ③若f（x）=logix，则f（|x|）是偶函数． 其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 考点： 等比数列；不等关系与不等式． 专题： 压轴题． 分析： 要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件”． 解答： 解：①，所以＜1成立； ②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1； ③由偶函数定义可得． 故选C． 点评： 做这类题要细心，读清题干，对基本概念要掌握牢固． 6．（2006?北京）设f（n）=2+2+2+2+…+2A．
B．
47103n+10
（n∈N），则f（n）等于（ ）
D．
C．
考点： 等比数列的前n项和． 专题： 压轴题． 分析： 首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可． 解答： 解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和， 所以f（n）==． 故选D． 点评： 本题考查等比数列的定义及前n项和公式． 7．（2005?江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
考点： 等差关系的确定；等可能事件的概率． 第7页（共20页）
专题： 计算题；压轴题． 分析： 先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案． 解答： 解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组． ∴所求概率为． 故选A 点评： 本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接． 8．（2005?黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ） A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞a4+a5 D．a1a8=a4a5 考点： 等差数列的性质． 专题： 压轴题；分析法． 分析： 先根据等差中项的性质可排除C；然后可令an=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案． 解答： 解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C； 若令an=n，则a1a8=1?8＜20=4?5=a4a5∴排除D，A． 故选B 点评： 本题主要考查等差数列的性质．属基础题． 9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ） A．4200元～4400元 B．4400元～4600元 C．4600元～4800元 D．4800元～5000元 考点： 数列的应用． 专题： 应用题；压轴题． 分析： 根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律得到2008年的农民收入，估算出范围即可． 解答： 解：由题知：2004年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+160）； 22005年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+2×160）；… 5所以2008年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+5×160）≈4559 故选B 点评： 考查学生利用数列解决数学问题的能力，以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能力． 第8页（共20页）
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