高三数学选择填空难题突破—导数中的构造函数

高三数学选择填空难题突破—导数中的构造函数

【题型综述】

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现

f?x?nf?x??xf??x?形式，构造函数F?x??xf?x?；出现xf??x??nf?x?形式，构造函数F?x??n；

xn出现f??x??nf?x?形式，构造函数F?x??enxf?x?；出现f??x??nf?x?形式，构造函数

F?x??f?x?． enx【题型综述】

一、利用f?x?进行抽象函数构造 1．利用f?x?与x构造

常用构造形式有xf?x?，

f?x?u；这类形式是对u?v，型函数导数计算的推广及应用，我们对

vxuvu?v，的导函数观察可得知，u?v型导函数中体现的是“?”法，型导函数中体现的是“?”法，

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造u?v型，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造

uvu． v例1、f?x?是定义在R上的偶函数，当x?0时，f?x??xf??x??0，且f??4??0，则不等式

xf?x??0的解集为 ．

【思路引导】出现“?”形式，优先构造F?x??xf?x?，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．

2．利用f?x?与ex构造

uf?x?与ex构造，一方面是对u?v，函数形式的考察，另外一方面是对?ex???ex的考察．所以

v对于f?x??f??x?类型，我们可以等同xf?x?，

f?x?的类型处理， “?”法优先考虑构造xf?x?． xeF?x??f?x??ex， “?”法优先考虑构造F?x??例2、已知f?x?是定义在???,???上的函数，导函数f??x?满足f??x??f?x?对于x?R恒成立，则（ ）

A．f?2??e2f?0?，f?2014??e2014f?0? B．f?2??e2f?0?，f?2014??e2014f?0? C．f?2??e2f?0?，f?2014??e2014f?0? D．f?2??e2f?0?，f?2014??e2014f?0? 【思路引导】满足“f??x??f?x??0”形式，优先构造F?x??形结合求解即可．注意选项的转化．

f?x?，然后利用函数的单调性和数ex3．利用f?x?与sinx，cosx构造

sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几

种形式．

F?x??f?x?sinx，F??x??f??x?sinx?f?x?cosx；

F?x??f?x?f??x?sinx?f?x?cosx，F??x??； 2sinxsinxF?x??f?x?cosx，F??x??f??x?cosx?f?x?sinx；

f?x?f??x?cosx?f?x?sinx?F?x??，F?x??．

cosxcos2x例3、已知函数y?f?x?对于任意x???????,?满足f??x?cosx?f?x?sinx?0（其中f??x?是函数22??f?x?的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）

???????????? B．?f2f??f????????

?3??4??3??4????? D．f?0??2f?4?????? ?3?A．2f?C．f?0??2f?【思路引导】满足“f??x?cosx?f?x?sinx?0”形式，优先构造F?x??调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．

f?x?，然后利用函数的单cosx二、构造具体函数关系式构造

这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 例4、?，????????,?，且?sin???sin??0，则下列结论正确的是（ ） ?22?A．??? B．?2??2 C．??? D．????0

【思路引导】构造函数f?x??xsinx，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可． 【解析】构造f?x??xsinx形式，则f??x??sinx?xcosx，x??0,单调递增；x???图象可知选B．

【同步训练】

1、设f?x?是定义在R上的偶函数，且f?1??0，当x?0时，有xf??x??f?x??0恒成立，则不等式f?x??0的解集为 ． 【思路引导】出现“?”形式，优先构造F?x??求解即可．

???时导函数f??x??0，f?x???2????,0?时导函数f??x??0，f?x?单调递减．又?f?x?为偶函数，根据单调性和2??f?x?，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合xf?x?f??x??x?f?x??【详细解析】构造F?x??，则F?x??，当x?0时，xf??x??f?x??0，可2xx以推出x?0，F??x??0，F?x?在???,0?上单调递增．?f?x?为偶函数，x为奇函数，所以F?x?为奇函数，?F?x?在?0,???上也单调递减．根据f?1??0可得F?1??0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f?x??0的解集为???,?1???1,???．

2、已知偶函数f?x?（x?0）的导函数为f??x?，且满足f??1??0，当x?0时，2f?x??xf??x?，则使得f?x??0成立的x的取值范围是 ． 【思路引导】满足“xf??x??nf?x?”形式，优先构造F?x??性和数形结合求解即可．

f?x?，然后利用函数的单调性、奇偶xn3、设f?x?是定义在R上的奇函数，在???,0?上有2xf??2x??f?2x??0，且f??2??0，则不等式xf?2x??0的解集为 ．

【思路引导】满足“xf??x??nf?x?”形式，优先构造F?x??xf?2x?，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．注意f??2??0和F?x?的转化．

【详细解析】构造F?x??xf?2x?，则F??x??2xf??2x??f?2x?，当x?0时，

F??x??2xf??2x??f?2x??0，可以推出x?0，F??x??0，F?x?在???,0?上单调递减．?f?x?为奇函数，x为奇函数，所以F?x?为偶函数，?F?x?在?0,???上单调递增．根据f??2??0可得

F??1??0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf?2x??0的解集为

??1,0???0,1?．

4、若定义在R上的函数f?x?满足f??x??2f?x??0，f?0??1，则不等式f?x??e2x的解集为 ．

【思路引导】满足“f??x??2f?x??0”形式，优先构造F?x??形结合求解即可．

f?x?，然后利用函数的单调性和数e2x