全国初中数学竞赛辅导(初2)第12讲-平行四边形--老师卷

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第十二讲 平行四边形

一、基础知识

1、由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： (1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等；

(3)平行四边形对角线互相平分． 2、判定方法：

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

二、例题精讲

例1 如图2-32所示．在相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互

证 因为ABCD是平行四边形，所以AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF．

所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF． 又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)， ME=NF． ①

又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)， 所以 MF=NF． ②

由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．

例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥

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BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．

证 作GH⊥BC于H，连接EH．

因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)， 所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE， 所以 △ABE≌△HBE(SAS)， 所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面证明四边形EHCF是平行四边形．

因为AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，

∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH． 从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．

例3 如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．

证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．

由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，

所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC， 又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD， 则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．

证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．

又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．

因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD， 因此，∠FCH=∠CAD． ①

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又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形， 从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．

由于∠CHG是△CHF的外角，所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°， 所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②得：∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF， 于是在三角形CAF中，有CA=CF．

例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：

证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以FA=FH． 设正方形边长为a，在Rt△ADF中，

从而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，

从而Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，

例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

证 因为DE

BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以

所以 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，

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所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD， 从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

练习

1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

3．如图2-40所示．证：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求

4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．

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5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

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