2020年中考数学一轮复习培优训练：
《圆》
1．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F． （1）求证：AC为⊙O切线．
（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
2．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．
（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4（2）如图2，当⊙O半径为
，CD＝2
，若EF＝BF，求弦AB的长； ，若OB⊥OC，求弦AC的长．
1
3．（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．
①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由； ②如图2，点P为
上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，
PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．
2
4．感知定义
在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线． ①证明△ABD是“类直角三角形”；
②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由． 类比拓展
（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．
3
5．已知：AB是⊙O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，∠F＝∠BAD； （1）求EF与AC的位置关系．
（2）连接CE交⊙O于G，连接BD，若2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，求证：AC＝CE．
（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK＝2AC，AK＝10，△AEK的面积＝18，求线段EK的长度．
6．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）求证：∠FDC＝∠EDC；
（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．
4
7．（2019秋?如皋市期中）如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若∠BAO＝30°，CD＝2． （1）求⊙O的半径； （2）若点P在
上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求
y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
8．如图：已知△ADC内接于⊙??O，AO是??⊙O的半径．点E是CD上一点，连接AE，∠DAE＝∠CAO． （1）求证：AE⊥CD；
（2）如图2，延长AO交CD于点G，交??⊙O于点B，过B作BF⊥CD于F．求证：CF＝DE；
（3）如图3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连接DM．若CN＝DM，AD＝
，tan∠CGB＝，求??⊙O的半径．
5
9．已知，如图△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，BD＜DC，过点A、D、C三点的⊙O交AB于点F，点E在
上，连接DF、AE、DE、CE．
（1）求证：△BDF是等腰三角形； （2）若
，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等
的四边形是平行四边形”是假命题．
10．如图1，在⊙O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，∠BOE＝2∠OEB． （1）求证：AC＝EC；
（2）如图2，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CD＝CB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M作MP⊥DB于点P，交DF于点Q，连接OP，若∠DFC＝90°，QO＝1时，求线段OP的长度．
6
11．已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为弧AC上一点，连接BE． （1）如图1，求证：∠CEB＝∠DEB；
（2）如图2，若弦CD经过圆心O，过点A作AF⊥AE交DE于，求证：CE＝DF； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG＝2，AH＝3，求BF的长．
12．已知，△ABC内接于??O，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点D． （1）如图1，求证：AD⊥BC；
（2）如图2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交⊙O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FG＝BG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，弧PF＝弧CF，连接PA、PB、PC，PB交AD于点M，交AC于点N，若PB＝16，PC＝10，求△AMN的面积．
7
13．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP． ①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数； ②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．
14．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：
（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；
（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；
（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝
FK，S△ADO＝，求WE的长．
8
15．AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E如图，在⊙O中，（E不与O重合），CE＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G． （1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF； （3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝
BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．
9
参考答案
．（1）证明：连结OA， ∴∠AOE＝2∠F， ∵∠BEF＝2∠F， ∴∠AOE＝∠BEF， ∴AO∥DF， ∵DF⊥AC， ∴OA⊥AC， ∴AC为⊙O切线； （2）解：连接OF， ∵∠BEF＝2∠F，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α， ∴∠BAF＝∠BEF＝2α， ∵∠B＝∠AFE＝α， ∴∠BAO＝∠B＝α， ∴∠OAF＝∠BAO＝α， ∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α， ∴△ABO≌△AFO（AAS）， ∴AB＝AF＝5， ∵DF＝4， ∴AD＝
＝3，
∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FDA， ∵∠B＝∠AFD， ∴△ABE∽△DFA，
10
1
∴＝， ∴＝， ∴BE＝
，
∴⊙O半径＝
．
2．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．
∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，
∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，
根据勾股定理可得：
，
解得或（舍弃），
∴BF＝4，AB＝2BF＝8．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
11
∵OB⊥OC，
∴∠A＝∠BOC＝45°， ∵AH⊥CH，
∴△ACH是等腰直角三角形， ∵AC＝
CH，
∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD，
∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°， ∴四边形EFHC是矩形， ∴CH＝EF，
在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，
OE＝
＝
＝2
，
∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO， ∵OB＝OC，
∴△OFB≌△CEO（AAS）， ∴OF＝EC＝， ∴CH＝EF＝3， ∴AC＝
EF＝6
．
3．解：（1）①PA+PB＝PC，理由如下： ∵线段PC经过点O， ∴PC是⊙O的直径， ∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
12
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠ACP＝∠BCP＝30°， ∴PA＝PC，PB＝PC， ∴PA+PB＝PC；
②PA+PB＝PC，理由如下：
在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠APD＝∠ABC＝60°， ∵PD＝PA，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠PAB， 在△ACD和△ABP中，，
∴△ACD≌△ABP（SAS）， ∴DC＝PB，
∴PA+PB＝PD+DC＝PC；
（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，如图3所示：∵PE⊥AC，DE＝AE， ∴PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA＝∠CDG． ∵∠PAD＝∠G． ∴∠CDG＝∠G， ∴CG＝CD， 又∵PA平分∠FAC，
∴∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG． ∴
13
∴，
∴AB＝CG．
∴AC﹣AB＝AC﹣CD＝AD＝2AE，即2AE＝AC﹣AB＝7﹣4＝3， ∴AE＝．
4．（1）①证明：如图1中，
∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠A+2∠ABD＝90°， ∴△ABD为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．
14
在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝3， ∴AC＝
＝
＝4，
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°， ∴∠ABE+2∠A＝90°， ∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°∴∠A＝∠CBE， ∴△ABC∽△BEC， ∴
＝
， ＝，
∴CE＝
（2）∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝6，AB＝10， ∴BD＝
＝
＝8，
FB．①如图2中，当∠ABC+2∠C＝90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，则点F在⊙O上，且∠DBF＝∠DOA，
∵∠DBF+∠DAF＝180°，且∠CAD＝∠AOD， ∴∠CAD+∠DAF＝180°， ∴C，A，F共线， ∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°∴∠C＝∠ABF， ∴△FAB∽△FBC，
15
∴＝，即＝．
，
∴AC＝
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，
∴∠C+2∠ABC＝90°，
∵∠CAD＝∠CBF，∠C＝∠C， ∴△DAC∽△FBC， ∴
＝
，即
＝，
∴CD＝（AC+6），
在Rt△ADC中，[（ac+6）]2+62＝AC2， ∴AC＝
或﹣6（舍弃），
综上所述，当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或
．
5．解：（1）如图1，延长FE，AC交于点H，连接BD，
16
∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠HCD＝∠ABD，且∠F＝∠BAD， ∴∠HCD+∠F＝90°， ∴∠H＝90°， ∴AC⊥EF；
（2）如图2，延长FE，AC交于点H，连接BD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠HCD＝∠ABD，
∵2∠CAE+∠DAG＝∠ABD，且∠HCD＝∠CAE+∠ADC， ∴∠CAE+∠ADC＝2∠CAE+∠DAG，
∴∠ADC＝∠CAE+∠DAG，且∠AGC＝∠ADC，且∠AGC＝∠AEC+∠GAD，∴∠CAE+∠DAG＝∠GAD+∠AEC， ∴∠AEC＝∠CAE， ∴AC＝CE；
17
（3）如图3，过点K作KM⊥AE，过点E作EN⊥AK，过点A作AP⊥CE，交EC的延长线于P，
∵∠H＝∠AMK＝90°，∠AEH＝∠MEF， ∴∠HAE＝∠MKE，且∠HAE＝∠CEA， ∴∠CEA＝∠MKE，
∵PA⊥AE，∠HAE＝∠CEA， ∴∠CPA＝∠CAP， ∴PC＝AC，且AC＝CE， ∴PE＝2AC，且EK＝2AC，
∴PE＝EK，且∠PAE＝∠KME＝90°，∠CEA＝∠MKE， ∴△PAE≌△EMK（AAS） ∴AE＝MK，
∵AK＝10，△AEK的面积＝18，
∴AK×EN＝×10×EN＝18， AE×MK＝×AE2＝18， ∴EN＝，AE＝6，
∴AN＝
＝＝
，
∴KN＝AK﹣AN＝，
∴EK＝
＝
＝2
．
6．（1）证明：连接OC．
18
∵OA＝OB，AC＝CB， ∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O切线．
（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD，
∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC， ∴∠BOC＝∠OFD， ∴OC∥DF， ∴∠CDF＝∠OCD， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠ADC＝∠CDF．
（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M． ∵ON⊥DF， ∴DN＝NF＝4，
在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4， ∴
＝3，
∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°， ∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°， ∴四边形OCMN是矩形， ∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，
在RT△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN+MN＝9，19
∴CD＝＝＝3．
7．解：（1）连结OB，如图，
∵AB、CD是⊙O的切线，
∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA， ∴∠ABO＝∠ACD＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴AD＝2CD＝2BD， ∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6， ∴OB＝
AB＝2
， 即⊙O的半径为2
；
（2）∵∠BAO＝30°， ∴∠BOC＝60°，
∵点P到直线BC的距离为x， ∴△PBC的面积为×
2×x＝
x，
弓形BC的面积＝扇形COB的面积﹣△COB的面积 ＝
＝2， ∴y＝
x+2
，
当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，∴自变量x的取值范围是0≤x≤2
+3．
8．（1）证明：如图1中，延长AO交⊙O于M，连接CM．
20
∵AM是直径， ∴∠ACM＝90°， ∴∠CAM+∠M＝90°，
∵∠CAO＝∠DAE，∠D＝∠M， ∴∠DAE+∠D＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥CD．
（2）证明：如图2中，连接BC，延长AE交⊙O于H，连接DH．
∵∠CAO＝∠DAE， ∴
＝
，
∴DH＝BC， ∵BF⊥CD，
∴∠BFC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACD＝∠CBF， ∵∠H＝∠ACD， ∴∠H＝∠CBF，
21
∵∠DEH＝∠BFC＝90°， ∴△BFC≌△HED（AAS）， ∴CF＝DE．
（3）解：如图3中，作GM⊥AD于M，作NJ⊥AB于J，连接BC．
∵∠CGB＝∠AGE，AE⊥CD， ∴tan∠CGB＝tan∠AGE＝＝，设AE＝4k，EG＝3k，则AG＝5k，∵
＝
，
∴DM＝CM，∠DAM＝∠MAC， ∵CN＝DM，∠ACN＝∠AMD， ∴△ACN≌△AMD（AAS）， ∴AN＝AD，∵AE⊥DN，
∴DE＝EN，∠DAE＝∠NAE＝∠CAB＝∠MAB， ∵NE⊥AE，NJ⊥AB， ∴NE＝NJ，
∵＝＝＝＝，
∴EN＝EG＝k， ∴DN＝k，DG＝k，
∴AD＝
＝＝
k，
∵?AD?GM＝?DG?AE，
22
∴GM＝＝
，
∴AM＝
＝
＝
k，
∵∠GAM＝∠CAE，∠AMG＝∠AEC＝90°， ∴△AEC∽△AMG， ∴
＝
，
∴＝，
∴AC＝k，
∵△ACB∽△AED， ∴
＝
，
∴＝，
∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 9．解：（1）∵AB＝AC， ∠B＝∠C，
∵四边形AFDC是圆内接四边形， ∴∠AFD+∠C＝∠BFD+∠AFD＝180°， ∴∠BFD＝∠C， ∴∠BFD＝∠B， ∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；
（2）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E， 则四边形ABDE是平行四边形是假命题； ∵
＝
，
∴DE＝AC， ∵AB＝AC， ∴AB＝DE，
23
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠C＝∠E， ∴∠B＝∠E， ﹣＝﹣
，
∴
＝， ∴AE＝CD＞BD，
但四边形ABDE不是平行四边形，
∴“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题．10．（1）证明：如图1中，延长CO交⊙O于T，连接BT．
∵OT＝OB， ∴∠T＝∠OBT，
∵∠EOB＝∠T+∠OBT＝2∠T，∠EOB＝2∠OEB＝2∠AEC， ∴∠T＝∠AEC， ∵∠A＝∠T， ∴∠A＝∠AEC， ∴CA＝CE．
（2）证明：如图2中，作OH⊥BC于H，OF⊥CD于F．
24
∵OC＝OB，OH⊥BC， ∴∠COH＝∠BOH，
∵∠EOB＝2∠OEB＝2∠CEM， ∴∠COH＝∠CEM，
∴∠CEM+∠OCF＝90°，∠OCH+∠OCH＝90°， ∴∠OCH＝∠OCF， ∵OF⊥CD，OH⊥CB，
∴OF＝OH，∵OC＝OC，∠OFC＝∠OHC＝90°，∴Rt△COF≌Rt△COH（HL）， ∴CF＝CH，
∵DF＝CF，CH＝BH， ∴CD＝CB．
（3）延长CO交BD于T，连接TF，TM．
∵CD＝CB，∠DCO＝∠BCO， ∴CT⊥BD，DT＝BT，
25
∵OC＝OD，
∴∠FDC＝∠TCD，∵∠DFC＝∠CTD＝90°，CD＝DC， ∴△CDT≌△DCF（AAS），
∴DT＝CF，∠TDC＝∠FCD，DF＝CT， ∴∠TDF＝∠FCT， ∵△TDF≌△FCT（SAS）， ∴∠DFT＝∠CTF， ∵∠DOC＝∠FOT， ∴∠OCD＝∠OTF， ∴CD∥TF，
∴∠BTF＝∠BDC＝∠FCM， ∵CF＝BT，∠CMF＝∠TFB， ∴△CMF≌△TFB（AAS）， ∴FT＝CM，
∴四边形FTMC是平行四边形， ∴TE＝EC，EM＝EF， ∵DF＝CT，OD＝OC， ∴OT＝OF， ∴∠OTF＝∠OFT，
∵∠OTF+∠FET＝90°，∠OFT+∠OFE＝90°， ∴∠OEF＝∠OFE， ∴OE＝OF＝OT， ∵OE∥MO，EF＝EM， ∴OQ＝OF＝1， ∴ET＝EC＝2， ∴OD＝OC＝3， ∴DQ＝2， ∵QP∥OT， ∴
＝
＝
，
26
∴＝＝，
∴PQ＝， ∴DP＝
＝＝，DT＝2
，
∴PT＝DT﹣DP＝2﹣
＝
， ∴OP＝
＝＝
． 11．解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，AB是直径， ∴
＝
，
∠CEB＝∠DEB．
（2）如图2中，连接AC、AD，
∵AB⊥CD，OC＝OD， ∴AC＝AD， ∵CD是直径， ∴∠CAD＝90°，
27
∵AE⊥AF，∠EAF＝∠AOD＝45°， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAF＝∠CAD， ∴∠EAC＝∠FAD， ∴△ACE≌△ADF（SAS）， ∴CE＝DF．
（3）过点A作AS⊥CE交CE的延长线于S，AT⊥ED于T，过点E作EN⊥AC于N．
∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°，
∴∠AED+∠DEG＝90°，∠SEA+∠CEB＝90°， ∵∠CEG＝∠DEG， ∴∠AES＝∠AED， ∵AS⊥ES，AT⊥ET， ∴AS＝AT，
∴＝＝，
∴∴
＝，同法可证，
，
＝
设HG＝x，∴x＝1，
28
∴AC＝6，tan∠ECA＝，tan∠EAC＝， AE＝，EF＝
，BE＝
BF＝
＝
＝
．
12．解：（1）如图1中，
∵AB＝AC， ∴
＝
，
∵AD经过圆心O， ∴AD⊥BC．
（2）如图2中，设BF交AD于H，连接CH．
∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， ∴HB＝HC， ∵BF⊥AC，
∴∠AGH＝∠BDH＝90°，
29
∴∠HAG+∠AHG＝90°，∠DBH+∠BHD＝90°， ∵∠AHG＝∠BHD， ∴∠HAG＝∠DBH， ∵∠GAF＝∠DBH， ∴∠GAF＝∠GAH，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°， ∴∠AHG＝∠AFG， ∴AH＝AF， ∵AC⊥FH， ∴GH＝FG， ∴CH＝CF＝BH， ∴BG＝BH+GH＝CF+FG．
（3）如图3中，作MK⊥AB于K，MJ⊥AC于J．
∵＝，
∴∠PBF＝∠CBF，
∴∠PBC＝2∠PBF＝2∠CAD， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠CAD， ∵∠BPC＝∠BAC， ∴∠BPC＝2∠DAC， ∴∠CBP＝∠CPB， ∴CB＝CP＝10，
30
∵∠BCN＝∠CBA＝∠CBN+∠ABN，∠CNB＝∠ABN+∠BAN，∠BAN＝∠CBN， ∴∠BCN＝∠BNC， ∴BN＝BC＝10，∵PB＝16， ∴PN＝16﹣10＝6，
∵∠BCN＝∠BCA，∠CBN＝∠CAB， ∴△CBN∽△CAB， ∴＝，设CN＝x， ∴
＝
， ∴AC＝
，
∵∠ABN＝∠PCN，∠ANB＝∠PNC， ∴△ANB∽△PNC， 可得AN?NC＝BN?PN， ∴（﹣x）＝10×
6， ∴x＝2（负根已经舍弃）， ∴CN＝2
，AC＝AB＝5
，AN＝3，
在Rt△ADC中，AD＝＝
＝15，
∴S△ABC＝?AD?BC＝75， ∵AN：CN＝3：2， ∴S△ABN＝×
75＝45， ∵MJ⊥AC，MK⊥AB，∠MAB＝∠MAC， ∴MJ＝MK，
∴＝＝＝＝
∴S△AMN＝×
45＝．
13．（1）证明：如图1中，连接OC．
31
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∵OD垂直平分线段AC， ∴OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°， ∴∠OCB＝∠OCD＝30°，
∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC， ∴△ODC≌△OBC（AAS）， ∴OD＝OB， ∴AC是⊙O的切线．
（2）①解：如图1中，∵DP∥BC， ∴∠PDB＝∠DBC， ∵∠ABC＝90°，AD＝DC， ∴BD＝DC＝AD， ∵∠DCB＝60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴∠DBC＝60°， ∴∠BDP＝60°．
②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．32
∵BE＝4，
∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1， ∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°， ∴BC＝OB＝2
， ∴JC＝
＝
＝
，
∵QP＝QB，JO＝JB， ∴JQ＝OP＝1， ∵CQ≥JC﹣JQ， ∴CQ≥
﹣1，
∴CQ的最小值为
﹣1．
14．解：（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC ∴∠OCB＝∠B ∵
＝
∴∠F＝∠B ∴∠OCB＝∠F ∵CE是⊙O切线， ∴OC⊥CE ∴∠OCE＝90°
∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE ∴∠ECB＝∠F+90°；
33
（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90° ∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD ∵OD⊥BC ∴BD＝CD
在△BDF和△CDG中，
∴△BDF≌△CDG（AAS） ∴BF＝CG ∵HA＝HE ∴∠EAH＝∠E ∵∠BAF＝∠EAH ∴∠BAF＝∠E 在△ABF和△ECG中，
∴△ABF≌△ECG（AAS） ∴AB＝CE；
（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF， 由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E ∵OA＝OC ∴∠OCA＝∠OAC
∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，
∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC ∴∠ECA＝∠ABC ∴△ABD≌△ECA（ASA） ∴BD＝AC ∵BD＝CD ∴AC＝CD
34
∴△ACD为等腰直角三角形 ∴∠ADC＝45° ∴∠EDF＝45°
∴△DEF是等腰直角三角形
设FK＝a，BF＝b，则DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝
AC＝2b，BC＝2
∵BD＝CD，OA＝OB ∴OD＝AC＝b，
∵∠BDO＝90° ∴OB＝＝
＝
b
∴AB＝CE＝b ∵S△ADO＝，
∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1 ∴BC?OD＝1，即×2b×
b＝1
∴b＝1 ∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2
∴AF＝
＝
＝3 过点C作CT⊥AB于T，则CT＝＝
＝，
∴OT＝＝＝
，
∵tan∠COH＝
＝
，
∴CH?OT＝CT?OC，即： CH＝
×
∴CH＝， ∵EH＝
FK＝
a，
∴CH＝CE﹣EH＝﹣a， ∴
﹣
a＝
，解得：a＝，
，
35
b
∴FK＝，EH＝，
∵△AEH∽△AFO ∴
＝
，即AE?OA＝AF?EH，AE×＝3×，
∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝ 过W作WR⊥EF于R，易证：△BFK∽△WRK ∴
＝
＝
＝，设KR＝m，WR＝2m
∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝
∴
＝，即ER＝6m，
∴EK＝7m＝，解得：m＝
∴ER＝6×＝
，WR＝2×＝
∴WE＝
＝
＝
．
15．（1）证明：如图1中，连接AC．
36
AB是⊙O直径，CE＝DE， AB⊥CD， ，
BAC＝∠BAD， CFD＝∠CAD， CFD＝2∠BAD． 2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．，
BC＝BD，∠BFD＝∠BFK， FK＝FD，FB＝FB， BFD≌△BFK（SAS）， BK＝BD， BC＝BK， BN⊥CK， CN＝NK，
FN＝FK+KN＝DF+CN． 3）如图3中，连接AC，AF．
37
∵∴∴
∴∠∵∠∴∠
（ ∵
∴∵∴△∴∴∵∴∴
（
∵HE＝BE，
∴设HE＝16a，EB＝27a， 由题意知点H是△ACD重心， ∴AH＝32a，AE＝48a，
连接BD，由射影定理知DE2＝AE?EB， 解得DE＝36a，
∵AD＝10，DE＝36a，AE＝48a，
在Rt△ADE中，由勾股定理可求得a＝，
∴DE＝6，EB＝，AE＝8，CE＝6，CB＝，HE＝，∴tan∠QCD＝＝，
∵EB＝
，
∴CR＝4， ∴tan∠QCD＝， ∴CN＝， ∵tan∠ACE＝
＝，
∴tan∠ACQ＝＝，
∴AK＝10×＝，
38
则CQ＝2CK＝，
∵CN＝， ∴NQ＝
，
在Rt△PNQ中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝＝，
∴NP＝NQ×＝
．
39
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