3.2 导数与函数的单调性
4
1．当x>0时，f (x)＝x＋的单调递减区间是( )
xA．(2，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 B
B．(0,2) D．(0，2)
4?x－2??x＋2?
解析 由f′(x)＝1－2＝<0， 2
xx又x>0，∴x∈(0,2)．故选B.
2．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间上是增函数( ) A.?C.?
?π，3π?
2??2??3π，5π? 2??2?
B．(π，2π) D．(2π，3π)
答案 B
解析 y′＝－xsinx，
经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立， ∴y＝xcosx－sinx在(π，2π)上是增函数．
3．函数f (x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )
?1?A.?0，? ??
a?
1??C.?－∞，?
?1?B.?，＋∞? ?a?
a?
D．(－∞，a)
答案 A
11
解析 由f′(x)＝－a>0，x>0，得0 xa?1?∴f (x)的单调递增区间为?0，?. ? a? 4．(2019·济南模拟)函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是( ) 答案 D 解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f (x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f (x)的减区间，验证只有D选项符合． 5.在R上可导的函数f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A 解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f (x)单调递增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)； 在(－1,1)上，f (x)单调递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0,1)． 综上，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 6．若0 21A．e－e>lnx2－lnx1 xx21B．e－e xxC． x2ex1?x1ex2 D． x2ex1?x1ex2 答案 C exe－ee?x－1? 解析 设f (x)＝，则f′(x)＝＝. 22 xxxxxxx当0 ex2ex1 7．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1， x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( ) A．f (x)＜0恒成立 B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]＜0 C．f ?D．f ? ?x1＋x2?＞f?x1?＋f?x2? ?2?2? ?x1＋x2?＜f?x1?＋f?x2? ?2?2? 答案 BD 解析 由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢．所以f (x)的图象如图所示： f (x)＜0恒成立，没有依据，故A不正确； B表示(x1－x2)与[f (x1)－f (x2)]异号，即f (x)为减函数．故B正确； C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边， 故C不正确，D正确． 8．(多选)若函数ef (x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数f (x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为( ) A．f (x)＝lnx C．f (x)＝sinx 答案 ACD 解析 对于A，f (x)＝lnx，则g(x)＝elnx， 1?x?x则g′(x)＝e?lnx＋?，函数g(x)＝elnx在(0，＋∞)先递减后递增； xxB．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝x 3 2 ?x? 对于B，f (x)＝x＋1，则g(x)＝ef (x)＝e(x＋1)， 2xx2 g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2＞0在实数集R上恒成立， ∴g(x)＝ef (x)在定义域R上是增函数； x?π?xxx对于C，f (x)＝sinx，则g(x)＝esinx，g′(x)＝e(sinx＋cosx)＝2esin?x＋?，显然 4?? g(x)不单调； 对于D，f (x)＝x，则g(x)＝ef (x)＝ex，g′(x)＝ex＋3ex＝e(x＋3x)＝ex(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝ef (x)在定义域R上先递减后递增； ∴具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D. 9．已知函数f (x)＝kx＋3(k－1)x－k＋1(k>0)． (1)若f (x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为________； (2)若f (x)在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________． 1?1?答案 (1) (2)?0，? 3?3? 解析 (1)f′(x)＝3kx＋6(k－1)x， 1 由题意知f′(4)＝0，解得k＝. 3(2)由f′(x)＝3kx＋6(k－1)x≤0(k>0)， 2?k－1? 并结合导函数的图象可知，必有－≥4， 2 23 2 2 3 xx3x3x2x32x2 xk11解得k≤，故0 1312?2?10．若函数f (x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围是 32?3?________． ?1?答案 ?－，＋∞? ?9? 解析 对f (x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a 2 ?1?21 ＝－?x－?＋＋2a. ?2?4 ?2?由题意知，f′(x)>0在?，＋∞?上有解， ?3? ?2??2?2 当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值为f′??＝＋2a. ?3??3?9 21令＋2a>0，解得a>－， 99 ?1?所以a的取值范围是?－，＋∞?. ?9? lnx＋k11．(2020·福州质检)已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))xe
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