2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为 y?x?1.
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由y??(lnx)??1?1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.
【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为
y?x?x0?1?1，得x0?1，由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1. x0x?x（2）已知f?(e)?xe，且f(1)=0, 则f(x)=
1(lnx)2 . 2【分析】 先求出f?(x)的表达式，再积分即可。 【详解】 令e?t，则x?lnt，于是有
xlntlnx， 即 f?(x)?. txlnx1 积分得 f(x)??dx?(lnx)2?C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函
x212数为f(x)= (lnx).
2 f?(t)?（3）设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分
22?xdy?2ydx的
L值为
3? . 2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，可表示为
22?x?2cos?, ??y?2sin?,??:0??2.
于是
?xdy?2ydx??L20[2cos??2cos??22sin??2sin?]d?
? =???202sin2?d??3?. 2第 1 页
c1c2d2ydy?4x?2y?0(x?0)（4）欧拉方程x的通解为 . y??dxxx2dx22【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x?e化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】 令x?e，则
ttdydydtdy1dy， ???e?t?dxdtdxdtxdtd2y1dy1d2ydt1d2ydy??2???[?]，
dx2xdtxdt2dxx2dt2dt代入原方程，整理得
d2ydy?3?2y?0， 2dtdt解此方程，得通解为 y?c1e?t?c2e?2t?c1c2?. xx2t【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令x?e，则欧拉方程
d2ydy?bx?cy?f(x)， ax2dxdx2d2ydydy]?b?cy?f(et). 可化为 a[2?dtdtdt?210???*** （5）设矩阵A?120，矩阵B满足ABA?2BA?E，其中A为A的伴随
????001??矩阵，E是单位矩阵，则B?
*1 . 9【分析】 可先用公式AA?AE进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得
ABA*A?2BA*A?A， 而A?3，于是有
3AB?6B?A， 即 (3A?6E)B?A，
再两边取行列式，有
3A?6EB?A?3，
1. 9 而 3A?6E?27，故所求行列式为B?第 2 页
（6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}=
1 . e【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
【详解】 由题设，知DX? P{X?1?2，于是
??1DX}=P{X?}??1?e??xdx
?? =?e??x??1?1?. e二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt,???tantdt,???sint3dt，使
002x2x排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) ?,?,?. (B) ?,?,?. (C) ?,?,?. (D) ?,?,?. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
?【详解】 lim?limx?0?x?0????0?x2xtantdtcost2dtx2?lim?x?0tanx?2x?0，可排除(C),(D)选项，
cosx2sinx?320?又 lim?limx?0?x?0???0xsintdt310tantdt?lim?x?02x
2xtanx =
1xlim?2??，可见?是比?低阶的无穷小量，故应选(B). 4x?0x（8）设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得
(A) f(x)在（0，?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减少.
(C) 对任意的x?(0,?)有f(x)>f(0) . (D) 对任意的x?(??,0)有f(x)>f(0) . [ C ]
【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】 由导数的定义，知
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0，
x根据保号性，知存在??0，当x?(??,0)?(0,?)时，有
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