巧用反比例函数的对称性解题

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巧用反比例函数的对称性

反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．

一、求代数式的值

例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数y?两点，那么(x2?x1)(y2?y1)的值为 方法一 设正比例函数的解析式是y?kx，与反比例函数y?到kx?6?0

由韦达定理，可知x1?x2?0,x1?x2?又y1?kx1.y2?kx2, ∴(x2?x1)(y2?y1)

26的图象交于A(x1、y1)，(x2、y2) x6

联立方程，消去y得x

6 k?(x2?x1)(kx2?kx1)

?k(x2?x1)2

2?k?(x?x)?12?4x1x2??

6???k?0?4??

?k??=24

方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，

x1??x2且，y1??y2 ∴(x2?x1)(y2?y1)

?(x2?x2)(y2?y2)

?4x2y2?24

这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的

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对称性不可忽视．

反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y?x的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来

体验一下． 二、求比例系数k

例2 如图1，已知直线y??x?2分别与x轴y轴交于A，B两点，与双曲线y?交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是

方法一 将直线y??x?2与反比例函数y?由韦达定理，可知x1?x2?2,x1?x2?k 又EF=

kxk2联立方程，得到?x?2x?k?0 x1AB= 22=2x1?x2

4?4k?1 1b2?4ac?得a解得k?3 4方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数y??x?2都关于直线y?x 对称，又AB=2EF，故有BF=FM=ME=AE． 而A(2，0)，B(0，2)， 所以F(,)，易得k?三、图形面积问题

例3 如图2，过点O作直线与双曲线y?13223． 4k(k?0)交于A，B两点，过点B作BC⊥xx轴于点c，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形OCBD的面积为s1，△EOF。的面积为s2，则s1，s2的数量关系是

解析 设A(m，一n)，过点O的直线与双曲线y?于原点对称，则B(一m，n)．

矩形OCBD中，易得 OD=n，OC=m，

k交于A，B两点，则A，B两点关xwww.czsx.com.cn

则s1=mn．

在Rt△EOF中，AE=AF， 故A为EF中点， OF=2n，OE=2m， 则s2=

1×OF×OE=2mn， 2 故2s1=s2．

例4如图3，反比例函数y?k(k?0)的图象与以原 x点(0，0)为圆心的圆交于A，B两点，且A(1，3)， 图中阴影部分的面积等于 ．(结果保留π)

解析 由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB的面积．再利用图形关于直线y?x对称，可知B(3，1)，所以， ∠BOX=30°，∠AOX=60°，

30???22??． 易得S扇形AOB=3603 从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数y?x?b或y??x?b相 结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数y?kxy或圆相结合的时 候，中心对称必然能发挥作用．总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形 结合)，这样会比直接代数运算方便很多．