1．(2012·大纲全国，6，中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2
n－1
3? B.??2?n－1
2?C.??3?
n－11
D.n－1
2
Sn＋13
1．B 由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn
Sn23?＝??2?n－1
，故选B.
1
2．(2014·课标Ⅱ，16，易)数列{an}满足an＋1＝，a＝2，则a1＝________．
1－an22．【解析】 ∵an＋1＝1
∴a2＝＝2，
1－a11
即a1＝.
21
【答案】 2
1
，a＝2， 1－an2
1
3．(2012·上海，14，中)已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，
1＋xan＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，则a20＋a11的值是________． 3．【解析】 ∵an＋2＝f(an)＝1213a5＝＝，a7＝＝，
13251＋1＋
231518
a9＝＝，a11＝＝，
385131＋1＋
58又a2 010＝a2 012，
1
即a2 010＝?a2＋a2 010－1＝0，
1＋a2 0102 010∴a2 010＝5－1?－5－1?.
??a＝舍去2 0102?2?
11
，a1＝1，∴a3＝，
21＋an
5－11
又a2 010＝＝，
21＋a2 008∴1＋a2 008＝即a2 008＝135＋3
. 26【答案】
135＋3
26
5＋12
＝，
25－1
5－15－15－18
，依次类推可得a2 006＝a2 004＝…＝a20＝，故a20＋a11＝＋＝22213
4．(2012·广东，19，14分，中)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式． 4．解：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1， 因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1， 所以a1＝1.
(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1. 因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
两式相减得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2)， 所以an＋2＝2(an－1＋2)． 因为a1＋2＝3≠0，
所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． 所以an＋2＝3×2n1，
－
所以an＝3×2n1－2.
－
当n＝1时也满足上式， 所以an＝3×2n1－2.
－
本考向在高考中一般以小题出现，有时也可出现在解答题中的某一问，作为解决问题的工具来出现，难度中等．
1(2014·大纲全国，17，10分)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得， an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1.
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)， 即an＋1－an＝2n－1.
nk1
nk1
于是∑ (ak＋1－ak)＝∑ (2k－1)， ＝＝所以an＋1－a1＝n2， 即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，
所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{an＋1－an}的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a1的验证．
1.(2015·山东潍坊一模，13)在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－
an(n∈N*)，则a2 015＝________.
1．【解析】 由an＋2＝an＋1－an得an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，易得an＋4＝－an＋1，an＋5＝－an＋1＋an，an＋6＝an，
∴该数列的周期为6，故a2 015＝a5，由a1＝1，a2＝5，得a3＝4，a4＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5.∴a2 015＝a5＝－5. 【答案】 －5
2．(2014·安徽合肥一模，14)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝______________．
2．【解析】 由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3× 2n1，
－
∴n≥2时，an－an－1＝3×2n2，?，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，
－
将以上各式累加得
an－a1＝3×2n2＋…＋3×2＋3＝3(2n1－1)，
－
－
∴an＝3×2n1－2(当n＝1时，也满足)．
－
【答案】 3×2n1－2,
－
典型的递推数列及处理方法
递推式 an＋1＝an＋f(n) an＋1＝f(n) anan＋1＝pan＋q (p≠0，1，q≠0) an＋1＝pan＋q·pn＋1 方法 叠加法 示例 a1＝1， an＋1＝an＋2n 累乘法 化为等比数列 化为等差数列 an＋1na1＝1，＝2 ana1＝1， an＋1＝2an＋1 a1＝1，an＋1＝3an＋3n1 ＋(p≠0，1，q≠0)
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