矩阵论A卷

武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A卷） 课程名称 矩阵论 专业年级 全校2012级 备注: （共2页，共7个大题，答题时不必抄题，标明题目序号） 一、填空题(共5小题，每题3分，共15分) 1. 实数域R上所有n阶反对称矩阵所构成的线性空间的维数是 . 2. 设向量??(2i,1,?3i,1?2i)T，则||?||2= . ?12?3. 已知矩阵A??，则A的LU分解为 . ??35?4. 设?是n维欧氏空间V中一单位向量，定义T????2(?,?)?,???V. 若T在 标准正交基下的矩阵为A，则|A|? . 5.设4阶方阵A的特征值为?,??,0,0，则sinA= . 二、(15分)设?1,?2?Rn是两个线性无关的向量，W?{??Rn|(?,?i)?0,i?1,2}. (1)证明：W是Rn的线性子空间; (2)求W的维数. ?12?2?2三、(15分)设A???，在线性空间R上定义映射 ?03?T(X)?AX?XA,?X?R2?2. (1)证明：T是R2?2上的线性变换； (2)求T在基E11,E12,E21,E22下的表示矩阵，其中Eij是(i,j)元为1、其余元 为0的2阶方阵. 四、(15分)设线性空间F[x]4?{f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3|ai?R,i?0,1,2,3}， 对于任意的f(x),g(x)?F[x]4，定义(f,g)??f(x)g(x)dx. ?11第1页，共2页

(1)证明(f,g)是F[x]4的一个内积; (2)写出此空间的柯西—施瓦兹不等式； (3)由基1,x,x2,x3出发，在题目所定义的内积下求F[x]4的一组标准正交基. ?308??， 3?16五、(15分)设矩阵A??????20?5???(1)求矩阵A的Jordan标准形； (2)求A的最小多项式. 六、(15分)已知线性方程组AX?b为： ?x1?2x2?3x3?1?x?x?0?13 ?， 2x?2x?13?1??2x1?4x2?6x3?3(1)求矩阵A的满秩分解； (2)求矩阵A的广义逆矩阵A?； (3)求线性方程组AX?b的最小二乘解； (4)求线性方程组AX?b的极小范数最小二乘解. 七、(10分)已知 ?508??,A??316????20?3????1??， X0??1???1???(1)求矩阵函数eAt； (2)求微分方程组dX(t)?AX(t)满足初始条件X(0)?X0的解. dt

第2页，共2页