S△ABC＝3m×4n﹣＝5mn．
﹣×3m×2n×2m×2n
【点评】本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
27．（8分）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）首先作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB＝60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；
（2）首先作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．
【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB＝∠HAE．
∵∠EAB＝∠EGB，∠APE＝∠BPG， ∴∠ABG＝∠AEH． 在△ABG和△AEH中，
，
∴△ABG≌△AEH（ASA）． ∴BG＝EH，AG＝AH． ∵∠GAH＝∠EAB＝60°， ∴△AGH是等边三角形． ∴AG＝HG．
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∴EG＝AG+BG；
（2）EG＝
AG﹣BG．
如图②，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H． ∴∠GAB＝∠HAE． ∵∠EGB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°． ∴∠ABG＝∠AEH． ∵又AB＝AE， ∴△ABG≌△AEH． ∴BG＝EH，AG＝AH． ∵∠GAH＝∠EAB＝90°， ∴△AGH是等腰直角三角形． ∴
AG＝HG．
AG﹣BG．
∴EG＝
【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 附加卷（20分）
28．（8分）已知线段AC＝8，BD＝6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1＝ 24 ，S2＝ 24 ，S3＝ 24 ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的
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任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明． 【解答】解：（1）S1＝24，S2＝24，S3＝24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24． 证明如下： ∵AC⊥BD，
∴S△BAC＝AC?OB，S△DAC＝AC?OD，
∴S四边形ABCD＝AC?OB+AC?OD＝AC?（OB+OD）＝AC?BD＝24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD＝AO?BD，S△BCD＝CO?BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AO?BD+CO?BD＝BD（AO+CO）＝BD?AC＝24． 【点评】此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半． 29．（4分）如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6
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，那么AC＝ 16 ．
【分析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO＝∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA＝OG＝6
，∠AOB＝∠COG，得出等腰直角
三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．
【解答】
解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG， ∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°， ∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°， ∴B、A、O、C四点共圆， ∴∠ABO＝∠ACO， ∵在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO， ∴OA＝OG＝6
，∠AOB＝∠COG，
∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°， ∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°， 即△AOG是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AG＝即AC＝12+4＝16， 故答案为：16．
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＝12，
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