2017-2018学年北京四中八年级(下)期中数学试卷

【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 30．（8分）探究

问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为 1 ． 拓展

问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF． 推广

问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE＝DF；

（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE＝DF．

（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC ∴△AEB和△AFB都是直角三角形 ∵D是AB的中点

∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线

∴DE＝AB，DF＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ∴DE＝DF ∵DE＝kDF

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∴k＝1；

（2）∵CB＝CA ∴∠CBA＝∠CAB ∵∠MAC＝∠MBE

∴∠CBA﹣∠MBC＝∠CAB﹣∠MAC 即∠ABM＝∠BAM ∴AM＝BM

∵ME⊥BC，MF⊥AC ∴∠MEB＝∠MFA＝90 又∵∠MBE＝∠MAF ∴△MEB≌△MFA（AAS） ∴BE＝AF

∵D是AB的中点，即BD＝AD 又∵∠DBE＝∠DAF ∴△DBE≌△DAF（SAS） ∴DE＝DF；

（3）DE＝DF

如图1，作AM的中点G，BM的中点H，

∵点 D是 边 AB的 中点 ∴DG∥BM，DG＝BM 同理可得：DH∥AM，DH＝AM ∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点

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∴在Rt△BEM中，HE＝BM＝BH ∴∠HBE＝∠HEB

∠MHE＝∠HBE+∠HEB＝2∠MBC 又∵DG＝BM，HE＝BM ∴DG＝HE

同理可得：DH＝FG，∠MGF＝2∠MAC ∵DG∥BM，DH∥GM ∴四边形DHMG是平行四边形 ∴∠DGM＝∠DHM

∵∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC 又∵∠MBC＝∠MAC ∴∠MGF＝∠MHE

∴∠DGM+∠MGF＝∠DHM+∠MHE ∴∠DGF＝∠DHE 在△DHE与△FGD中

，

∴△DHE≌△FGD（SAS）， ∴DE＝DF．

【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质；在证明三角形全等时，用到的知识点比较多，用到直角三角形的性质、三角形的中位线、平行四边形的性质和判定．

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