精品文档 高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14?.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
精品文档 3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
6x?3,1??x?,??2?932??xh,???6?84?h?3．?
98∴正六棱柱的底面圆的半径r?，球心到底面的距离d?接球的半径R?r2?d2. 体积：V?4?3R. 3123.∴外2222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9?.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
2故其外接球的表面积S?4?R?9?.
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，
精品文档 222则有2R?a?b?c.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
，则
体对角线长为l?a2?b2?c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长l 即R?a2?b2?c2 2练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S?4?R2?16?
例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6? A. (如图2)
例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=60，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.
43666????272824A. B. C. D.
0?DAB=?CBE=?DEA=60AE=EB=DC=1解析：（如图3） 因为，，
0所以
AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，
这与例6就完全相同了，故选C.
DCPAEBDEC精品文档 例8 （2已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA?平面ABC，
AB?BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，
又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球
9?CD=3O的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于2.（如图4）
BDOA图4
C2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，
AB?平面BCD，BC?DC，若AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出?BOC即可，在Rt?ABC中，求出BC=4，所以?BOC=60，故
4?B、C两点间的球面距离是3.（如图5）
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