第5节向心加速度
1．圆周运动是变速运动，故圆周运动一定有加速度， 任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加 速度叫向心加速度。
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2．向心加速度的大小为an＝＝rω，向心加速度方向
r始终沿半径指向圆心，与线速度垂直。
3．向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反 映了速度方向变化的快慢。
一、 感受圆周运动的向心加速度 1．圆周运动必有加速度
圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度。 2．匀速圆周运动的加速度方向 实例 受力 分析 加速度 分析
二、向心加速度 1．定义
做匀速圆周运动的物体具有的指向圆心的加速度。 2．大小
地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即为地球轨迹的圆心 光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动 小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心 由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心 v22
(1)an＝；(2)an＝ωr。
r
1
3．方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。
1．自主思考——判一判
(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。(×) (2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×) (3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。(√)
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(4)根据a＝知加速度a与半径r成反比。(×)
r(5)根据a＝ωr知加速度a与半径r成正比。(×)
2．合作探究——议一议
如图5-5-1所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
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图5-5-1
(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向一定指向圆心吗？
提示：小球的向心加速度方向时刻指向圆心，方向时刻改变，因此，小球的向心加速度不是恒定的。
(2)若手握绳子的位置不变，增加小球的转速，则它的向心加速度大小如何变化？ 提示：根据a＝ωr可知，当半径不变时，角速度变大时，加速度a也变大。
对向心加速度的理解
1．物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢。 2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。 3．圆周运动的性质
不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲
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2
线运动。
4．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。
1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( ) A．与线速度方向始终相同 B．与线速度方向始终相反 C．始终指向圆心 D．始终保持不变
解析：选C 做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确。
2．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( ) A．它描述的是线速度大小变化的快慢 B．它描述的是线速度方向变化的快慢 C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢 D．它描述的是角速度变化的快慢
解析：选B 向心加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。
3．关于向心加速度，以下说法中错误的是( ) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
对向心加速度公式的理解和应用
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1．公式an＝
r该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
2．公式an＝ωr
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
3．公式拓展
在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下4π22
公式：an＝ωv＝2r＝4πnr。
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T4．向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图5-5-2所示。
图5-5-2
[典例] 如图5-5-3所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑1
动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大
3轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
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图5-5-3
[审题指导]
(1)P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ωr计算向心加速度。
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(2)P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用an＝计算向心加速度。
r[解析] 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP。
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