全国卷历年数学高考真题汇编 三角函数 - 图文

全国卷历年数学高考真题汇编 三角函数

2π??1（2017全国I卷9题）已知曲线C1:y?cosx，C2:y?sin?2x??，则下面结论正确的

3??是（）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线C2 【答案】D

2π??【解析】C1:y?cosx，C2:y?sin?2x??

3??π个121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单26π个12π个单6首先曲线C1、C2统一为一三角函数名，可将C1:y?cosx用诱导公式处理． ππ?π???y?cosx?cos?x????sin?x??．横坐标变换需将??1变成??2，

22?2???π?C1上各点横坐标缩短它原来1π?π????2??y?sin?2x???sin2?x?? 即y?sin?x??????????2?2?4????2π?π??????y?sin?2x???sin2?x??．

3?3???ππ平移至x?， 43ππππ根据“左加右减”原则，“x?”到“x?”需加上，即再向左平移

431212注意?的系数，在右平移需将??2提到括号外面，这时x?

2 （2017全国I卷17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABCa2的面积为．

3sinA（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.

1a2.且S?bcsinA （1）∵△ABC面积S?23sinA

a21?bcsinA ∴3sinA2322∴a?bcsinA

2322∵由正弦定理得sinA?sinBsinCsinA，

22由sinA?0得sinBsinC?.

321（2）由（1）得sinBsinC?，cosBcosC?

36∵A?B?C?π

∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?又∵A??0，π?

1 2∴A?60?，sinA?13，cosA?

22由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9 ①

aa?sinB，c??sinC 由正弦定理得b?sinAsinAa2∴bc?2?sinBsinC?8 ②

sinA由①②得b?c?33 ∴a?b?c?3?33，即△ABC周长为3?33

3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.（12分）

?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2(1)求cosB

(2)若a?c?6 , ?ABC面积为2,求b.

【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．

B． 2【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A?C???B，将

B2B转化为角B的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简sin，

222B22结合sinB?cosB?1求出cosB；②利用二倍角公式，化简sinB?8sin，两边约去

2BB

sin，求得tan，进而求得cosB.在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和

22

2sinA(?C)?8sin面积公式求出a?c、ac，从而求出b． （Ⅰ） 【基本解法1】

由题设及A?B?C??,sinB?8sin2B，故 2sinB?（41-cosB）

上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0 解得 cosB=1（舍去），cosB=【基本解法2】

由题设及A?B?C??,sinB?8sin215 17BBBB2B，所以2sincos?8sin，又sin?0，22222BB12?15 ?，cosB?所以tanB17241?tan2215814ac （Ⅱ）由cosB=得sinB?，故S?ABC?acsinB?171721717又S?ABC=2，则ac?

21?tan2由余弦定理及a?c?6得

b2?a2?c2?2accosB2?（a+c）?2ac(1?cosB) 1715?36?2??(1?)217?4所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意a?c,ac,a?c三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．

4 （2017全国卷3理）17．（12分）

?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2．（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．

π??【解析】（1）由sinA?3cosA?0得2sin?A???0，

3??π即A??kπ?k?Z?，又A??0,π?，

32ππ. ∴A??π，得A?3322

1由余弦定理a2?b2?c2?2bc?cosA.又∵a?27,b?2,cosA??代入并整理

2得?c?1?2?25，故c?4.

（2）∵AC?2,BC?27,AB?4， 由余弦定理cosC?a2?b2?c22ab?277. ∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?CD2?AC2?3. 又A?2π3，则?DAB?2π3?π2?π6， S△ABD?12AD?AB?sinπ6?3.

5 （2017全国卷文1）14 已知a?(0，π2),tan α=2，则cos(??π4)=__________。

【答案】31010 （法一）??????0,??2?sin?? ，tan??2?cos??2?sin??2cos?， 又sin2??cos2??1，解得sin??255，cos??55?cos???????4???22(cos??sin?)?31010． （法二）cos(???4)?22(cos??sin?) ?cos2???????4???12?sin?cos?．又?tan??2

?sin?cos??sin?cos?tan?2sin2??cos2??tan2??1?5，?cos2???????94???10， 由?????0,??2??知??4????4??4，?cos???????4???0，故cos????310???4???10

6.（2017全国卷2 文） 3.函数f(x)?sin(2x?π3)的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2

【答案】C 【解析】由题意T?2?2??，故选C. 【考点】正弦函数周期

，

【名师点睛】函数y?Asin(?x??)?B(A?0,??0)的性质 (1)ymax=A+B，ymin?A?B. (2)周期T?2?.

?π?kπ(k?Z)求对称轴 2ππ??2kπ??x????2kπ(k?Z)(4)由

22π3π?2kπ??x????2kπ(k?Z)求减区间; 22(3)由 ?x???

7（2017

全国卷

2

文）13.函数

求增区间; 由

f(x?)2c?xosx最大值的

为 . 【答案】5

8（2017全国卷2文）16.?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

2bccosB?acosC?ccosA,则B?

【答案】

? 3