二项式定理
1．二项式定理：
0n1n?1(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n). ③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r?1项Cna3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(n?1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。
③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的
次数和等于n. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系
数是a与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
n0122令a?1,b?x, (1?x)?Cn?Cnx?Cnx?n0122令a?1,b??x, (1?x)?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?) nn?(?1)nCnx(n?N?)
012rnrn?rnrrn?rrab表示。 br叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cnnn5．性质：
0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn?Cn，···Cn?Cn 012②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn?12 变形式Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n?1。
r?Cn?n?Cn?2n，
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
0123在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?n?(?1)nCn?(1?1)n?0，
0242r13从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?12r?1?Cn??????2n?2n?1
2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0
令x?1, 则a0?a1?a2?a3令x??1,则a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C取得最大值。
⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有?6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；
1232例：Cn?Cn?6?Cn?6?n?Cn?6n?1? .
n?Cn?6n与已知的有一些差距，
n?12n,Cn?12n同时
n?Ar?1?Ar，从而解出r来。
?Ar?1?Ar?2n012233解：(1?6)?Cn?Cn?6?Cn?6?Cn?6?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? ?1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n) 611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)
66123练：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn? .
n?3n?1Cn，则
nn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：设Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：利用通项公式求xn的系数； 例：在二项式(4解：由条件知Cn132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由
n?2Tr?1?C(x)r10?1410?r(x)?Cx23rr10?10?r2?r43，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 43633则含有x3的项是第7项T6?1?C10x?210x,系数为210。
19)展开式中x9的系数？ 2x111rr18?2rr解：Tr?1?C9(x2)9?r(?)r?C9x(?)rx?r?C9(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3
2x22132193故x的系数为C9(?)??。
22练：求(x2?题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？ 1解：Tr?1?C(x)r10210?rr451r20?55818令2得r?8，所以T9?C10 ()?C()x2，()?0?r?0，
2225622xrr1016)的展开式中的常数项？ 2x1rr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6，令6?2r?0，得r?3，所以(2x)6?r(?1)r()r?(?1)rC62()x2x2练：求二项式(2x?3T4?(?1)3C6??20
练：若(x2?)n的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.
442n?12解：T5?Cn，令2n?12?0，得n?6. (x2)n?4()4?Cnx1x1x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
9例：求二项式(x?3x)展开式中的有理项？
解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令
27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 627?r34x??84x4， ?4，T4?(?1)3C9627?r93x??x3。 当r?9时，?3，T10?(?1)3C96所以当r?3时，
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x2?13x21)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.
解：设(x2?3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,
nn 令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)an?2,② nn?1 将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2,?a1?a3?a5??????2,
有题意得，?2练：若(3n?1??256??28，?n?9。
151n?)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 2xx2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?11
0242r13解：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn? 所以中间两个项分别为n?6,n?7，T5?1题型六：最大系数，最大项；
61?16515?415?C()(2)?462?x，T6?1?462?x
xx53n例：已知(?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二
项式系数最大项的系数是多少？
4652解：Cn?Cn?2Cn,?n?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数
12354134,，T5的系数?C7()2?70,当n?14227177时，展开式中二项式系数最大的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。
23最大的项是T4和T5?T4的系数?C7()423?12练：在(a?b)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?12n ?Tn?1，也就是第n?1项。
练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3x解：只有第5项的二项式最大，则
n?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于21C86()2?7
2例：写出在(a?b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大
343434值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。
7例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)n的展开式中系数最大的项？
012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，
1211(?2x)12?()12(1?4x)12 22
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