2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第10讲 对数和对数函数及答案 

2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第10讲 对数和对数函数及答案2020高考文

科数学（人教版）一轮复习讲义：第10讲 对数和对数函数及答案

第10讲 对数与对数函数

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点，会画底数为2,10，1

的对数函数的图象． 2

3．体会对数函数是一种重要的函数模型． 4．了解指数函数与对数函数互为反函数．

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知识梳理

1．对数

(1)对数的定义：

如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作 b＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做对数的真数．

(2)指数式与对数式的关系：

ab＝N logaN＝b (a>0，a≠1，N>0)．

(3)几个常用等式：

①loga1＝ 0 ；②logaa＝ 1 ；③alogaN＝ N . (4)对数运算性质：

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ； M

②loga＝ logaM－logaN ；

N③logaMn＝ nlogaM . (5)换底公式：logaN＝ 2．对数函数

(1)对数函数的定义

函数 y＝logax(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) .

(2)对数函数的图象

logbN

(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)． logba

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(3)对数函数的性质： ①定义域： (0，＋∞) ； ②值域： (－∞，＋∞) ；

③图象过定点 (1,0) ，即x＝ 1 时，y＝ 0 . ④当 a>1 时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数； 当 0

3．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的关系

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为象关于直线 y＝x 对称．

1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝1nlogba； (2)logambn＝m

logab.

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反函数 ，它们的图

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其中a>0，且a≠1，b>0，b≠1，m，n∈R.

1

2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝logx的图象关于x轴对称．

a

3．对数函数y＝logax的底数a>1时，a越大，增长越慢，图象在x轴上方越靠近x轴(x>1时)；01)．

热身练习

1．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝

10 .

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11

因为4a＝2，所以a＝log42＝log44＝，

22

11

又因为lg x＝a，所以lg x＝，所以x＝10＝10. 2251－

2．(经典真题)lg＋2lg 2－()1＝ －1 .

22

－2

＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.

51

lg＋2lg 2－()－1＝lg 5－lg 2＋2lg 222

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(A) 1

A．log2x B.x

21－

C．logx D．2x2

2

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logax，

指数函数y＝ax的反函数是f(x)＝

又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.

4．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝ax与y＝logax的图象大致是(A)

－

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＝a－x单调递减，y＝logax单调递增，故选A.

1

因为a＞1，所以0＜＜1，所以函数y

a

5．当x∈(－1,0)时，f(x)＝log2a(x＋1)>0，则a的取值范围为(A) 111

A．(0，) B．(，)

22411

C．(，＋∞) D．(，1)

22

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由f(x)＝log2a(x＋1)>0，知0<2a<1， 1

所以0

2

当－1

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比较大小

137

((2018·天津卷)已知a＝log3，b＝)，c

24＝log11，则a，b，c的大小关系为( )

315A．a>b>c B．b>a>c

C．c>b>a D．c>a>b

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7

因为c＝log11＝log35，a＝log3，

253又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数， 7

所以log35>log3>log33＝1，所以c>a>1.

21

因为y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，

4

111

所以()3<0＝1，即b<1.所以c>a>b.

44

D

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对数函数值大小比较一般有三种方法：

①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不是同底，先化为同底；

②“中间量”法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”；

③图象法，根据图象观察得出大小关系．

1．(经典真题)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(D) A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b

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a＝log32log22＝1，

由对数函数的图象和性质可知，log52

对数函数的图象与性质

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值范围是

A．(0，22) C．(1，2) 象(如图)，

B．(2

2

，1) D．(2，2)

(经典真题)当0

，4x

(方法一)画出指数函数与对数函数的图

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1

当对数函数经过(，2)时，

2所对应的对数函数为y＝log1

当0

2

根据对数函数y＝logax的底数的变化特点可知， 2

(方法二)若a>1，则logax<0不满足，所以排除C，D， 当0

1

问题转化为求a的范围，使f(x)在(0，]的最大值小于0.

21

因为f(x)在(0，]上单调递增，

2111

所以f(x)max＝f()＝4－loga<0，

22211

所以loga>2loga>logaa2，

22

12

因为0，所以

22

2

x， 2

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B

本题深入地考查了对数函数的图象及其

性质，方法一充分利用了数形结合的思想方法，解题的关键是明确对数的底数变化是如何影响对数函数图象的．方法二，通过构造函数，将其转化为函数的最值问题，充分利用了函数的性质及化归与转化的思想方法．

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2．已知a>0，且a≠1，若关于x的不等式logax>(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为(B)

A．[

1691695，4] B．[5，4) 1695] D．(1，4]

C．(1，

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不等式logax>(x－1)2恰有三个整数

解，画出示意图可知a>1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足：

2??loga4>?4－1?，

?

2

?loga5≤?5－1?，?

解得

16

9

5≤a<4.

对数函数的应用

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已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a>0，

a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

因为a>0，且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)为减函数，x∈[0,2]时，t(x)min＝3－2a， 因为x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 3

所以3－2a>0，所以a<.

2

3

又a>0，且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1，)．

2

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(1)与对数型函数有关的恒成立问题多与

其定义域和值域有关．对于函数y＝logaf(x)，若定义域为R(即对任意x都有意义)，则f(x)>0在R上恒成立；若函数y＝logaf(x)的值域为R，则f(x)能取遍所有的正实数．

(2)本题中f(x)恒有意义，即t(x)＝3－ax在x∈[0,2]上的最小值t(x)min>0.

3．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(其中a>0，a≠1)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

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令t(x)＝3－ax，则t(x)为减函数，

又f(x)＝logat(x)为减函数，所以a>1. 当x∈[1,2]时，t(x)min＝3－2a， f(x)max＝f(1)＝loga(3－a)，

如果存在满足条件的a，则a需满足： a>1，??

?3－2a>0，??log?3－a?＝1，

a

?

即?3

a＝?2.

31

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

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1．对数的定义揭示了指数式与对数式的内在联系，为对数的计算、化简、证明等问题提供了有效方法．

2．对数的单调性是解决含有对数式的各种问题的最常用知识，应熟练掌握其应用．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)首先要研究函数的定义域；(2)要注意对数底数的取值范围．

3．比较幂、对数大小的常用方法：

(1)利用单调性；(2)与“中间量”比较；(3)利用数形结合． 在比较对数值的正负时，掌握如下结论有利于解题． 当a>1且b>1，或00； 当a>1且01时，logab<0.

4．处理指数、对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，充分运用数形结合的思想方法进行求解．特别要注意互为反函数的两函数的图象关于直线y＝x对称．

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