2012年全国硕士研究生入学统一考试
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与是cxk等价无穷小，则
(A) k?1,c?4 (B) k?1,c??4 (C) k?3,c?4 (D) k?3,c??4
x2f(x)?2f(x3)? (2) 已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则limx?0x3(A) ?2f'(0) (B) ?f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是
(A) 若
?un?1??n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
?(B) 若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1(C) 若
?un?1?n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
? (D) 若
?(un?12n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1??40?0(4) 设I?小关系是
?40ln(sinx)dx,J??ln(cotx)dx,K??4ln(cosx)dx 则I,J,K的大
(A) I?J?K (B) I?K?J (C) J?I?K (D) K?J?I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3
?100??100?????10?，P2??001?，则A? 行得单位矩阵记为P1??1?001??010??????1?1(A)PP12 (B)P2P1 (D) P1P2 (C)P2P1
生命不息 - 1 - 奋斗不止
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(6) 设A为4?3矩阵,?1, ?2 , ?3 是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为
?k1(?2??1) 2???3?k2(?2??1) (B) 22???3?k1(?3??1)?k2(?2??1) (C) 22???3?k2(?2??1)?k3(?3??1) (D) 22(A)
(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是
(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)
(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)
(8) 设总体X服从参数?(??0)的泊松分布，X1,X1,?Xn(n?2)为来自总体的简
?2??31n?111n单随即样本，则对应的统计量T1??Xi，T2?X?Xn ?in?1i?1nni?1(A)ET1?ET2,DT1?DT2 (B)ET1?ET2,DT1?DT2 (C)ET1?ET2,DT1?DT2 (D) ET1?ET2,DT1?DT2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设f(x)?limx(1?3t)，则f'(x)?______.
t?0xtx(10) 设函数z?(1?)y，则dz|(1,1)?______.
y(11) 曲线tan(x?y?(12) 曲线y?的体积______.
(13) 设二次型f(X1,X2,X3)?xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x?Qy的标准型为______.
生命不息 - 2 - 奋斗不止
x?4)?ey在点(0,0)处的切线方程为______.
x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体
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(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?2,?2;0)，则E(XY2)?______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限limx?01?2sinx?x?1.
xln(1?x)(16) (本题满分10分)
已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)?2是f(u,v)的极值，
?2z|(1,1). z?f?(x?y),f(x,?。求y)?x?y(17) (本题满分10分) 求
arcsinx?lnxdx ?x(18) (本题满分10分) 证明4arctanx?x?4??3?0恰有2实根。 3(19) (本题满分10分)
f(x)在?0,1?有连续的导数，f(0)?1，且
??Dt，f'(x?y)dxdy???ft(dxdy)DtDt?{(x,y)|0?x?t,0?y?t,0?x?y?t}(0?t?1)，求f(x)的表达式。
(20) (本题满分11分)
TTTT设3维向量组?1?，?2?，?3?不能由?1?，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT，?3?线性标出。 ?2?（1,2,3）（1,3,5）求：(Ⅰ)求a；
(Ⅱ)将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出. (21) (本题满分11分)
?11???11?????已知A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?，
??11??11?????生命不息 - 3 - 奋斗不止
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求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：
X P 0 1 Y -1 P 1/3 0 1/3 1 1/3 1/3 2/3 且P(X2?Y2)?1，
求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；
(Ⅱ)Z?XY的分布； (Ⅲ)?XY. (23) (本题满分11分)
设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x?求：(Ⅰ)边缘密度
(Ⅱ)
y?0，x?y?2与y?0围成。
fX(x)；
fX|Y(x|y)。
2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word）版
一、 1. 解析：C
生命不息 - 4 - 奋斗不止
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由x??由x?1limy?1,得y?1为水平渐近线 为垂直渐近线
limy??得x?11limy???,得x??1x??12由非垂直渐近线，选（C）
2. 解析： A
?f?(x)?ex(e2x?2)?(enx?2)?(ex?1)?2e2x?(enx?n)?(ex?1)(e2x?2)?nenx?f?(0)?1?(?1)???(1?n)?(?1)n?1(n?1)!选（A） 3. 解析：B
原式=04. 解析：D
?2dx?4?x22x?x2f(x2?y2)dy
11?1?nsin?~,n1(?1)nsin???n?2nn且n?1绝对收敛.
13????1即??.22
(?1)n?2??n又n?1条件收敛.?0?2???1?1???2
?3????22，选D
5. 解析：C
生命不息 - 5 - 奋斗不止
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?0???3??4??0???c?c???????34?,34与1成比例.
??1与?3+?4线性相关,??1，?3，?4线性相关，选C 0?1,?3,?4?0c1或
1?1?11?0c3c4
??1,?3,?4线性相关，选C
6. 解析：B
?100??100??100????Q?1AQ??110?P?1AP?110?Q?P?110???????000??001??001??????? ?100??1??100???1??110????110???????001?????2001??????
?100??100??100???110???010????110???????002??001??002???????，选B.
7. 解析：D
?1?1,0?x,y?1（fx，y)?fx(x)fy(y)??其他 ?0,P{X2?Y2?1}???f(x,y)d??DSD??，选DS?4
8. 解析：B
生命不息 - 6 - 奋斗不止
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X?XX1?X2~N(0,2?2)?122?~N(0,1)
X3?X4?2~N(0,2?2)?X3?X4?22?~N(0,1)
X21?X2?X3?X4?2???2??2????1~t(1)
X1?X2即
X~t(1),3?X4?2选B
二、 9. 解析：e?2.
tanx?1cosx?sinxlim?1(1?(tanx?1))tanx?1??解：原式=
x???4??
lim1?sinx?cosxx??coscosx?sinx=e4?e?2. 10. 解析： 4
dydx?f?[f(x)]f?(x)dydxx?0?f?(?1)f?(0)
而
x?1时，f?(x)?2
?f(?1)?f(0)?2.于是dydxx?0?4.
11. 解析：
dzx?0?2dx?dy
生命不息 - 7 - 奋斗不止
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22??x?(y?1).
解：令
则
f(x,y)?2x?y?2?0(?),f(0,1)?1
f(x,y)?1?2x?(y?1)?0(?) fx?(0,1)?2,fy?(0,1)??1,?dz12. 解析：4 ln2 解：
(0,1)?2dx?dy.
?4?S??(4x?x)dx????x?dx01?x?
1213?2??4ln2??4ln222
13. 解析：-27 解：
|B|??|A|??3.
|BA*|?|B|?|A*|??3?|A|2??27.
14.
3解析：4
P(ABC)P(AB)?P(ABC)P(AB|C)??1?P(C)P(C)解：
?AC??，?ABC??.
1P(AB)3?P(AB|C)??2?1?P(C)243.
三、 15.
生命不息 - 8 - 奋斗不止
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x2?2?2cosxe?1?limx?0e2?2cosx?解析：原式
x4
?limx2?2?2cosx2(x?sinxx?0x4?lim)x?04x3
?12lim1?cosx1x?03x2?12.
16.
??exxydxdy解析：D
1??1xexdx?x0xydy
?111x11122?0(1?x2)exdx?2e0?2?0xexdx ?e?112xe?1e?212?2(x?2x?2)e10?2?2?2.
17.
,y)?20?x解析：1）设成本函数为
C(x,y),Cx?(x则
2,?x2C(x,y)?20x??(y),对x积分得，4
再对y求导有，
C?y(x,y)???(y)?6?y，
?(y)?6y?12再对y积分有，2y?c C(x,y)?20x?x2?6y?1y2?c所以，42
?C(0,0)?10000,?c?10000,于是 C(x,y)?20x?x214?6y?2y2?10000
生命不息 - 9 - 奋斗不止
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2）若
x?y?50，则y?50?x(2?x?50)，代入到成本函数得
x21C(x)?20x??6(50?x)?(50?x)2?1000042
32x?36x?11550=4
C?(x)?所以，令
3x?36?0,得x?24,y?26,2总成本最小为
C(24,26)?11118
3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为
C?x(24,26)?32,即在要求
总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
18.
1?xx2?(x)?xln?cosx?1?.?(0)?0.1?x2证明：令
1?x2x?’(x)?ln1?x?1?x2?sinx?x 1?x1?x2?ln?x?sinx21?x1?x
1?x21?xx?xln?020?x?1时. 1?x,1?x，又sinx?x.
??’(x)?0；
1?x21?xx?xln?02?1?x?0时，1?x，1?x,又sinx?x.
??’(x)?0.
（0）=0 ?x?0为?(x)在（-1，1）内最小点，而??当-1 1?xx2xln?cosx?1?1?x2 生命不息 - 10 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 19. 2????2?0??1??2,?2?1 解析：1) f?(x)?f?(x)?2f(x)?0?f(x)?C1e?2x?C2ex, 代入 f?(x)?f(x)?2ex得C1?0,C2?1. ?f(x)?ex 2） y?ex2?x0edt.?t2?t2 y??2xey??2e令 x2x2?e?e0x0xdt?1. 2x2?t2dt?4xe?x0edt?2x?2(1?2x)?edt?2x.0?t22x?t2 y??0得x?0. y??0, 当x?0时，y??0 y?f(x)?f(?t2)dt02x当x?0时. 故(0，0)为曲线20. 解析： （I） 的拐点. A?1?(?1)5a?a3?1?a4 （II）当a当a?1及a??1时，Ax=b有无穷多个解. ?1时， ????1????1?????????????????????????????????????????????????????????????????????=?????????????????????? ?1?0??0???0010001?2?0?1??1?????11?0??00?0? 生命不息 - 11 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ???1??2?k?1???????1?x????1????0??通解为 ?1??0? 当a??1时. ??1?100?1??10?1?0???01?10??1??001?1??0??010?1??1??0??01?1??0?????1001?0???0?0000?0?? ??1??0?1???1?x?k???1?????0??通解为 ?1????0?? 21. ?101????10?10?11??010a??0??0a???11?1a?1?解析：(1)ATA=?a?1????0? ?201?a????01?a21?a??1?a1?3?a2??a?? ? xT(ATA)x秩 为 ? r(ATA)?2(也可以利用r(ATA)?r(A)?2) ?ATA?0?a??1 ( ?ATA?(a2?3)(a?1)2) ?202?ATA=B=??022??(II)令 ?224??? 生命不息 - 12 - 奋斗不 止 2. 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ???????E?????????由????????????????????? 解???0,???2,???6 ??1???1?1???当???时,由(0E?A)x?0?即Ax=0得?1???. ???1??????1当??2时,由 (2E?A)x?0???0???. ??1??????1??当??6时,由(6E-A)x=0 ??2??. 1???1???1??1?3??1?,r1???1??2?1?,r3?1?取r1= ?1????.?2??0??6??2?? ???1?11??326?Q????111???326?.??1?302??6??f?x?22令 ?x??x?Qy??2y2?6y3 22. P{XY?4}?P{X?2,Y?2}?1解析：1） 12 P{XY?2}?P{X?2,Y?1}?P{X?1,Y?2}?0 生命不息 - 13 - 止 奋斗不 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ?P{X?2,Y?1}?0,P{X?1,Y?2}?0. P{XY?1}?P(X?1,Y?1}?13. ?(X,Y)联合分布律为 Y 0 1 pi? X 2 0 11 4 0 2 11 4 3 1 11 0 3 6 0 2 112 0 112 p?j 111 3 3 13 P{X?2Y}?P{X?0,Y?0}?P{X?2,Y?1}1?0?1=44. cov(X?Y,Y)?cov(X,Y)?DY2）?EXY?EXEY?DY. EX?23,EY?1,EY2?523,EXY?3. 生命不息 - 14 - 止 奋斗不 2012年全国硕士研究生入学统一考试 222?5?cov(X?Y,Y)?3?3?1???3?1????3. ?cov(X,Y)?EXY?EXEY?0,??XY?0. 23. 解析： E(1)?F?1?e?xX~x?0X(x)??1） ?0,x?0 E(1)?F?1?e?yY~y?0Y(y)???0,y?0. FV(x)?P{min(X,Y)?x} ?1?P{min(X,Y)?x}?1?P{X?x,Y?x} ?1?P{X?x}P{Y?x} 1??1?FX(x)??1?FY(x)? ???1?e?2x,x?0?0x?0. ?f???2e?2xx?0v(x)?0x?0. 2）FU(x)?P{max(X,Y)?x}?P{X?x,Y?x} ?P{X?x}P{Y?x}?F2?(1?e?x)2,x?0X(x)???0,x?0. ?2e?x(1?e?xf),x?0U(x)???0,x?0. EU????2xe?x?x??x??x0(1?e)dx?2?0xe?dx?2?0xe?2dx生命不息 - 15 - 止 奋斗不 2012年全国硕士研究生入学统一考试 1???2?(2)??(2x)e?2xd(2x)20 113?2?1??(2)?2?1-?1=222 EV??x?2e0???2x1??11?2xdx??(2x)ed(2x)??(2)?2022. ?E(U?V)?2. 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. x2?xy?2x?1渐近线的条数为（ （1）曲线 （A）0 （2）设函数（ ） ?20 ） （D）3 （B）1 （C）2 f(x)?(ex?1)(e2x?2)…（enx-n）f?(0)= ，其中n为正整数，则 n(?1)(n?1)! （B） n(?1)n! （D） n?1(?1)(n?1)! （A） n?1(?1)n! （C） （3）设函数 f(t)连续，则二次积分?4?x22x?x24?x22x?x2d??22cos?f(r2)rdr=（ ） （A）0??2dx?dx?x2?y2f(x2?y2)dyf(x2?y2)dy 2（B）0 ?（C） 20dx?14?x2?2x?x2x2?y2f(x2?y2)dy 生命不息 - 16 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ?（D） 20dx?14?x2?2x?x2f(x2?y2)dy （4）已知级数i?1（ ） ?(?1)?n1nsin?n(?1)n?2??n绝对收敛，i?1条件收敛，则?范围为 ?（A）0 1（B）2< ??1 3（D）2 3（C）1 ?1??0??0???1??,???1?,????1?,???1??1??0??2??3??4???c??c??c??c??1??2??4?其中c1，c2，c3，c4?3?（5）设 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） ?，?2，?3 （A）1?，?3，?4 （C）1 ?，?2，?4 （B）1（D） ?2，?3，?4 ?1??1?，????2?? （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP= ?1QAQ=（?????????）P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）则 ?1???2???1??? （A） ?2???1???2??? （C） ?1??1????2??? （B） ?2???2???1??? （D） 生命不息 - 17 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则 ?｛?2+?2?1｝（ 1（A）4 ） 1（B）2 ?（C）8 ?（D）4 2X，X，X，XN（1，?）（??0）1234（8）设为来自总体的简单随机样 X1?X2|X+X4-2|的分布（ 本，则统计量3 ） 2?(1) （C） （0，1）（A）N t(1) （B） （D） F(1,1) 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. lim(tanx)?（9） x?41cosx?sinx （10）设函数 ?dy?lnx,x?1f(x)?,y?f(f(x)),求dx??2x?1,x?1x?0__ （11）函数 z?f(x,y)lim满足 x?0y?1f(x,y)?2x?y?2x2?(y?1)2?0,则 dz(0,1)?_______. y? （12）由曲线_______. 4 x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为 （13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________. （14）设A,B,C是随机事件，A,C 11P(AB)?,P(C)?,23则互不相容， P（??C）=_________. 解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 生命不息 - 18 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （15）（本题满分10分） e?e2?2cosxlimx?0x4计算 x2 （16）（本题满分10分） xe??xydxdy计算二重积分D 1y?x与y?x所围区域. ，其中D为由曲线 （17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的 x边际成本分别为20+2（万元/件）与6+y（万元/件）. 1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 C(x,y)（万元） 生命不息 - 19 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义. （18）（本题满分10分） 1?xx2xln?cosx?1?,?1?x?1.1?x2证明： （19）（本题满分10分）已知函数 f(x)满足方程f?(x)?f?(x)?2f(x)?0及 生命不息 - 20 - 奋斗不止 f?(x)?f(x)?2ex 2012年全国硕士研究生入学统一考试 1）求表达式 f(x) y?f(x)?f(?t2)dt02x2）求曲线的拐点 （20）（本题满分10分） ?1?0A???0??a设 （I）求|A| a1000a100??1???1?0??，b????0?a????1??0? ?b有无穷多解，求a，并求Ax?b的通解. （II）已知线性方程组Ax 生命不息 - 21 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 (21)（本题满分10分） 已知 ?1?0A????1??001?11??，0a????a?1?f(x,x,x)?x(??)x的秩为2， 123二次型 求实数a的值； 求正交变换x=Qy将f化为标准型. （22）（本题满分10分） 生命不息 - 22 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示： X P Y P XY P 求（1）P(X=2Y); （2） 0 1 2 0 4 0 1 2 0 1 2 12 13 16 13 13 13 712 13 112 cov(X?Y,Y)与?XY. （23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布， V?min(X,Y),U=max(X,Y). 求（1）随机变量V的概率密度； （2） E(U?V). 生命不息 - 23 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 若lim??(?a)ex??1，则a等于 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 (2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)x的两个特解，若常数?， '?1x?0x?1x??u使?y1?uy2是该方程的解，?y1?uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（） 1111，?? （B）???，??? 22222122（C）??，?? （D）??，?? 3333（A）??(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)?0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则 \f?g(x)?在x0取极大值的一个充分条件是（） （A）f(a)?0 （B）f(a)?0 （C）f(a)?0 （D）f(a)?0 (4) 设f(x)?lnx，g(x)?x,h(x)?e,则当x充分大时有（） （A）g(x)?h(x)?f(x) （B）h(x)?g(x)?f(x) （C）f(x)?g(x)?h(x) （D）g(x)?f(x)?h(x) (5) 设向量组Ⅰ：?1，?2，??r可由向量组Ⅱ：?1，?2，??s线性表示，下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则r?s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r?s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r?s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r?s 2(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A?A?0,若A的秩为3，则A相似于 ''\\10x10生命不息 - 24 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ?1??1??1??1?? （B）?? （A）???1??1?????00?????1???1???1????1? （D）?? （C）????1??1?????00?????0?1?(7) 设随机变量的分布函数F(x)???2?x??1?e（A）0 （B） x?00?x?1，则P?X?1?? x?111?1?1 （C）?e （D）1?e 22(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为??1,3?上的均匀分布的概率密度， ?af1(x)x?0若f(x)??(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足 bf(x)x?0?2（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y?y(x)由方程 ?x?y0e?tdt??xsint2dt确定，则 02xdydx?______. x?0(10) 设位于曲线y?1x(1?lnx)2x轴上方的无界区域为G,则G(e?x???)下方， 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______. 3(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p，其中p为价格，且R(1)?1， 则R(p)?______. (12) 若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(?1,0),则b?______. ?1(13) 设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?B?2，则A?B?1?______. 32生命不息 - 25 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 (14) 设x1，x2，xn为来自整体N(?,?2)(??0)的简单随机样本，记统计量 1n2T??Xi，则ET?______. ni?1三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分) 求极限lim(x?1)x???1x1lnx (16) (本题满分10分) 计算二重积分 ??(x?y)dxdy，其中D由曲线x?D31?y2与直线x?2y?0及 x?2y?0围成。 (17) (本题满分10分) 求函数u?xy?2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较 ?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由 0n1（Ⅱ）设un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun n??n(19) (本题满分10分) 设函数f(x)在 2?0,3?上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 2f(0)??f(x)dx?f(2)+f(3)， 0（Ⅰ）证明：存在??(0,2)，使f(?)?f(0) （Ⅱ）证明：存在??(0,3)，使f(?)?0 (20) (本题满分11分) \11????a?????设A?0??10，b?1 ??????1???1??1??已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解 （Ⅰ）求?，a 生命不息 - 26 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅱ）求方程组Ax?b的通解 (21) (本题满分11分) ?0?14???设A??13a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为????4a0??1T,求a，Q (1,2,1)6(22) (本题满分11分) 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)?Ae?2x2?2xy?y2， ???x???,???y???,求常数A及条件概率密度fYX(yx) (23) (本题满分11分) 箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数， （Ⅰ）求随机变量(X，Y)的概率分布 （Ⅱ）求Cov(X，Y) 生命不息 - 27 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为 sin?x(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个. （2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则 11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?. 66xsintdt?lnx成立的x的范围是 （3）使不等式?1t(A)a?1，b??(A)(0,1). (B)(1,??). (C)(,?). 22 (D)(?,??). （4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为 f(x) 1 O -1 x-2 1 2 3 x 则函数F?x???f?t?dt的图形为 0f(x) 1 O -1 f(x) 1 -2 (A) 1 2 3 x (B) -2 -1 O 1 2 3 x 生命不息 - 28 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C) x (D) -2 -1 O 1 2 3 x （5）设A,B均为2阶矩阵，A?,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分 ?OA?块矩阵??的伴随矩阵为 BO???O3B*?(A)?*?. O??2A?O3A*?(C)?*?. O??2B?O (B)?*?3A 2B*??. O?2A*??. O??O (D)?*?3B?100???TT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP??010?， ?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为 T?210? ??(A)?110?. ?002????200???(C)?010?. ?002??? ?110??? (B)?120?. ?002????100??? (D)?020?. ?002??? （7）设事件A与事件B互不相容，则 (A)P(AB)?0. (B)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A?B)?1. (C)P(A)?1?P(B). （8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为 生命不息 - 29 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 P{Y?0}?P{Y?1}?点个数为 (A) 0. 1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断2 (B)1. (C)2. (D)3. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? . （10）设z?(x?ey)x，则 ?z? . ?x(1,0)en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. ?300???（13）设??(1,1,1)T,??(1,0,k)T，若矩阵??T相似于?000?，则k? . ?000???(14) 设X1，X2,…,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别 2为样本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 2三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数f(x,y)?x22?y2?ylny的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分ln(1????1?x)dx (x?0). x（17）（本题满分10 分） 计算二重积分 22D?{(x,y)(x?1)?(y?1)?2,y?x}. ，其中(x?y)dxdy??D（18）（本题满分11 分） 生命不息 - 30 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，则 ???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?. （Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,'''limf(x?)A，则存在，且. f(0)f??(0)?A???,?(?0内)可导，且 x?0（19）（本题满分10 分） 设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线y?f(x)与直线 y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯 形面积值的?t倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分） 设 ?1?1?1???1?????A=??111?,?1??1?. ?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型 f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值. （Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y22，求a的值. （22）（本题满分11 分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ?e?xf(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； 0?y?x 其他生命不息 - 31 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅱ）求条件概率PX?1Y?1. （23）（本题满分11分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求??以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求P?X?1Z?0?； （Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布. 生命不息 - 32 - 止 奋斗不2012年全国硕士研究生入学统一考试 2008年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. ?（1）设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数g(x)? （A）跳跃间断点. （C）无穷间断点. （B）可去间断点. （D）振荡间断点. x0f(t)dtx的（ ） （2）如图，曲线段方程为y?f(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分 ?a0xft(x)dx等于（ ） （A）曲边梯形ABOD面积. （B） 梯形ABOD面积. （D）三角形ACD面积. （C）曲边三角形ACD面积. x2?y4（3）已知f(x,y)?e，则 （A）fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在 （B）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 （C）fx?(0,0)存在，fy?(0,0)不存在 （D）fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在 生命不息 - 33 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （4）设函数f连续，若F(u,v)?Duv??f(x2?y2)x2?y2dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则 ?F??u（ ） （A）vf(u2) （B） vvf(u2) （C）vf(u) （D）f(u) uu（5）设A为阶非0矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3?0，则（ ） （A）E?A不可逆，E?A不可逆. （B）E?A不可逆，E?A可逆. （C）E?A可逆，E?A可逆. （D）E?A可逆，E?A不可逆. （6）设A???12??则在实数域上域与A合同的矩阵为（ ） ?21? （B）?（A）???21? ?. 1?2???21??. ?12??2?1??. ?12???1?2??. ??21? （C）? （D）?（7）随机变量X,Y独立同分布，且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ） （A）F2?x?. 2 （B）F?x?F?y?. （D）??1?F?x?????1?F?y???. （C）1?? ?1?F?x???. （8）随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ） （A）P?Y??2X?1 ??1. （C）P?Y??2X?1??1. （B）P?Y?2X?1??1. （D）P?Y?2X?1??1. 生命不息 - 34 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ?x2?1,x?c?（9）设函数f(x)??2在(??,??)内连续，则c? . ,x?c?x?21x?x3（10）设f(x?)?，则?2x1?x42f(x)dx?______. 2(x???y)dxdy??????????????????. D（11）设D?{(x,y)x2?y2?1}，则 （12）微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是y??????????????????. （13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A?1?E?_____. （14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX2??????????????????. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分） 求极限limx?0??1sinxln. 2xx(16) （本题满分10分） 设z?z(x,y)是由方程x?y?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数 22且????1时. （Ⅰ）求dz （Ⅱ）记u?x,y???u1??z?z?，求. ????xx?y??x?y?(17) （本题满分11分） 计算 ??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}. D(18) （本题满分10分） 设f?x?是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t，有（Ⅱ）证明G?x???t?2tf?x?dx??f?x?dx； 02?x0?2f?t??t?2f?s?ds?dt是周期为2的周期函数． ?t????生命不息 - 35 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 (19) （本题满分10分） 设银行存款的年利率为r?0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分） 设n元线性方程组Ax?b，其中 ?x1??1??2a1??x??2??0?a2a?2?，x???，b??? A???????????1???????2a2a??n?n?xn??0?（Ⅰ）求证行列式A??n?1?a; n（Ⅱ）a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； （Ⅲ）a为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。 （21）（本题满分10分） 设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量，向量a3满足 Aa3?a2?a3， （Ⅰ）证明a1,a2,a3线性无关； （Ⅱ）令P??a1,a2,a3?，求PAP. ?1（22）（本题满分11分） 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概率3?10?y?1密度为fY?y???，记Z?X?Y ?0其它（Ⅰ）求P?Z???1?X?0?； 2?（Ⅱ）求Z的概率密度fZ(z)． （23） （本题满分11分） 生命不息 - 36 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 1n设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记X??Xi， ni?122121n2T?X?S. ，S?(X?X)?inn?1i?12（Ⅰ）证明T是?2的无偏估计量. （Ⅱ）当??0,??1时，求DT. 生命不息 - 37 - 止 奋斗不2012年全国硕士研究生入学统一考试 2007年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上 (1) 当x?0?时，与x等价的无穷小量是（） （A）1?ex （B）ln(1?x) （C）1?x?1 （D）1?cosx (2) 设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是（） f(x)存在，则f(0)?0 x?0xf(x)?f(?x)（B）若lim存在，则f(0)?0 x?0xf(x)（C）若lim存在，则f'(0)存在 x?0xf(x)?f(?x)（D）若lim存在，则f'(0)存在 x?0x（A）若lim(3) 如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是（） ?x0f(t)dt, 53F(?2) （B）F(3)?F(2) 4435（C）F(?3)?F(2) （D）F(?3)??F(?2) 44（A）F(3)??(4) 设函数f(x,y)连续，则二次积分（A） ??dx?2?1sinxf(x,y)dy等于（） 1?10dy????arcsinyf(x,y)dx （B）?dy?0???arcsinyf(x,y)dx 生命不息 - 38 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 1（C） ?0dy????arcsiny2f(x,y)dx （D）?dy??01??arcsinyf(x,y)dx 2(5) 设某商品的需求函数为Q?160?2?，其中Q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（） （A）10 （B）20 （C）30 （D）40 (6) 曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（） x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 (7) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（） （A）?1??2，?2??3 ，?3??1 (B) ?1+?2，?2+?3，?3+?1 （C）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 ?2?1?1??100?????(8) 设矩阵A???12?1?，B??010?，则A与B（） ??1?12??000?????（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 (9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（） （A）3p(1?p) (B) 6p(1?p) (C) 3p(1?p) (D) 6p(1?p) (10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示X, Y的概率密度，则在Y?y条件下，X的条件概率密度fXY(xy)为（） （A）fX(x) (B) fY(y) (C)fX(x)fY(y) (D) 222222fX(x) fY(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 x3?x2?1(sinx?cosx)?________. (11) limx??2x?x3生命不息 - 39 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 (12) 设函数y?1，则y(n)(0)?_________. 2x?3(13) 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则xyxxy?z?z?y________. ?x?y(14) 微分方程 dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为y?__________. ?0?0(15) 设距阵A???0??0100??010?,则A3的秩为_______. 001??000?1的概率为________. 2(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性。 （18）（本题满分11分） 设二元函数 ?x2.? f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分 Dx?y?1.1?x?y?2. ??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2。 ?（19）（本题满分11分） 设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)， f(b)＝g(b)，证明： （Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)； （Ⅱ）存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?)。 （20）（本题满分10分） 将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间。 2x?3x?4生命不息 - 40 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （21）（本题满分11分） 设线性方程组 ?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0?2x?4x?ax3?02?1(1) 与方程 x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解。 （22）（本题满分11分） (2) 设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量。记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵。 （Ⅰ）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B。 （23）（本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 53?2?x?y,0?x?1,0?y?1. f(x,y)???0,其他（Ⅰ）求P?X?2Y?； （Ⅱ）求Z?X?Y的概率密度fZ(z)。 （24）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为 ?10?x??,?2?，??1f(x;?)??,??x?1,. ?2(1??)?0，其他??其中参数?(0???1)未知，X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值。 ?； （Ⅰ）求参数?的矩估计量?生命不息 - 41 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅱ）判断4X是否为?2的无偏估计量，并说明理由。 22006年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. (1) lim??n?1??n???n???1?n?______. fx(2) 设函数f(x)在x?2的某邻域内可导，且f??x??e??，f?2??1，则 .f????2??____(3) 设函数f(u)可微，且f??0??1，则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分2dz?1,2??_____. ?21?E为2阶单位矩阵，(4) 设矩阵A??矩阵B满足BA?B?2E，则B? . ?， ?12??(5)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则 P?max?X,Y??1??_______. (6) 设总体X的概率密度为f?x??21?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X22的简单随机样本，其样本方差为S，则ES?____. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（） (A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy. (C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . (8) 设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（） 生命不息 - 42 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 (A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 (9) 若级数 ?an?1?n收敛，则级数（） (A) ?an?1??n收敛 . （B） ?(?1)n?1??nan收敛. (C) ?anan?1收敛. (D) n?1an?an?1收敛. ?2n?1(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是（） (A) C?y1(x)?y2(x)?. (B) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?. (C) C?y1(x)?y2(x)?. (D) y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? (11) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（） (A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是（） (A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (13) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到生命不息 - 43 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ?110???第2列得C，记P??010?，则（） ?001???(A) C?P?1AP. (B) C?PAP?1. (C) C?PTAP. (D) C?PAPT. 2(14) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，随机变量Y服从正态分布N(?2,?2)， 且 P?X??1?1??P?Y??2?1? 则必有（） (A) (C) ?1??2 (B) ?1??2 ?1??2 (D) ?1??2 三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分） 设f?x,y??yy?,x?0,y?0，求： 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ)g?x??limf?x,y?； g?x?。 (Ⅱ)lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分域。 （17）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时， ??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区 bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a （18）（本题满分8分） 在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）。 生命不息 - 44 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅰ）求L的方程； （Ⅱ）当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分） 8时，确定a的值。 3?1?x2n?1? 求幂级数?的收敛域及和函数s(x)。 n2n?1??n?1?n?1（20）（本题满分13分） 设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,?4? TTT?4,4,4,4?a?T问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关？当?1,?2,?3,?4线性相关时，求其一 个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。 （21）（本题满分13分） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解。 （Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??； TT3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵。 2??（22）（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为 6?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2， ?4?0, 其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数。 2（Ⅰ）求Y的概率密度fY?y?； （Ⅱ）Cov(X,Y)； 生命不息 - 45 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （Ⅲ）F???1?,4?。 ?2?（23）（本题满分13分） 设总体X的概率密度为 ??,0?x?1,?f?x;????1??,1?x?2, ?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数。 （Ⅰ）求?的矩估计； （Ⅱ）求?的最大似然估计。 生命不息 - 46 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 2005年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 极限limxsinx??2x?______. x2?1(2) 微分方程xy??y?0满足初始条件y?1??2的特解为______. (3) 设二元函数z?xex?y??x?1?ln?1?y?，则dz?1,0??______. (4) 设行向量组?2,1,1,1?,?2,1,a,a?,?3,2,1,a?,?4,3,2,1?线性相关，且a?1，则 a?______. (5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,?,X中任取一个数，记为Y，则 P?Y?2??______. (6) 设二维随机变量?X,Y?的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 若随机事件?X?0?与?X?Y?1?相互独立，则a?______，b?______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (7) 当a取下列哪个值时，函数f?x??2x?9x?12x?a恰有两个不同的零点. 32（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 (8) 设I1?中D?222222cosx?yd?,I?cosx?yd?,I?cosx?y????d?，其23??????2DDD??x,y?x2?y2?1，则 ?（A）I3?I2?I1 （B）I1?I2?I3 （C）I2?I1?I3 （D）I3?I1?I2 (9) 设an?0,n?1,2,?,若 ?an?1?n发散， ???1?n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是 生命不息 - 47 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 （A） ?an?1??2n?1收敛， ?an?1?2n发散 （B） ?an?1??2n收敛， ?an?1?2n?1发散 （C） ??an?12n?1?a2n?收敛 （D）??a2n?1?a2n?收敛 n?1(10) 设f?x??xsinx?cosx，下列命题中正确的是 （A）f?0?是极大值，f?????是极小值 ?2?（B）f?0?是极小值，f?????是极大值 2??（C）f?0?是极大值，f?????也是极大值 ?2?????也是极小值 2??（D）f?0?是极小值，f?(11) 以下四个命题中，正确的是 （A）若f??x?在?0,1?内连续，则f?x?在?0,1?内有界 （B）若f?x?在?0,1?内连续，则f?x?在?0,1?内有界 （C）若f??x?在?0,1?内有界，则f?x?在?0,1?内有界 （D）若f?x?在?0,1?内有界，则f??x?在?0,1?内有界 (12) 设矩阵A?aij??3?3满足A?A，其中A为A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. *T*T若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为 （A） 13 （B）3 （C） （D）3 33(13) 设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则 ?1,A??1??2?线性无关的充分必要条件是 （A）?1?0 （B）?2?0 （C）?1?0 （D）?2?0 (14)（注：该题已经不在数三考纲范围内） 生命不息 - 48 - 奋斗不 止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分8分） 求lim??1?x1???. x?01?e?xx??（16）（本题满分8分） ?y?设f?u?具有二阶连续导数，且g?x,y??f???yf?x?（17）（本题满分9分） 计算二重积分 22?x?2?g2?g. ?y??，求x22?x?y?y???Dx2?y2?1d?，其中D???x,y?0?x?1,0?y?1?. （18）（本题满分9分） 求幂级数 ?1?2n?1???x在区间??1,1?内的和函数S?x?. 2n?1?n?1??（19）（本题满分8分） 设f?x?,g?x?在?0,1?上的导数连续，且f?0??0,f??x??0,g??x??0.证明：对任何???0,1?，有 ?a0g?x?f??x?dx??f?x?g??x?dx?f?a?g?1? 01（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 ?x1?2x2?3x3?0,???x1?bx2?cx3?0,（ⅰ）?2x1?3x2?5x3?0, 和 （ⅱ）? 22x?bx?c?1x?0,??3?2?x?x?ax?0,?13?12同解，求a,b,c的值. （21）（本题满分13分） ?A设D??T?C矩阵. C??为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n阶B?生命不息 - 49 - 奋斗不止 2012年全国硕士研究生入学统一考试 ?E （Ⅰ）计算PDP，其中P??m?OT?A?1C??； En? （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分） 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?0,0?x?1,0?y?2x, f?x,y???其它.?1,求：（Ⅰ）?X,Y?的边缘概率密度fX?x?,fY?y?； （Ⅱ）Z?2X?Y的概率密度fZ?z?； （Ⅲ）P?Y???11?X??. 22?（23）（本题满分13分） 设X1,X2,?,Xn?n?2?为来自总体N0,?2的简单随机样本，其样本均值为X，记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n. （Ⅰ）求Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （Ⅱ）求Y1与Yn的协方差Cov?Y1,Yn?； （Ⅲ）若c?Y1?Yn?是?的无偏估计量，求常数c. 22?? 生命不息 - 50 - 奋斗不 止
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