解：（1）如图1，连接AC，
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴OE∥AC、OE=AC，GF∥AC、GF=AC， ∴OE=GF，OE=GF，
∴四边形OEFG是平行四边形；
（2）①∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN， ∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON， ∴
=
，
∴△OGM∽△OEN， ∴
=
=
．
②添加AC=BD， 如图2，连接AC、BD，
∵点O、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴OG=EF=BD、OE=GF=BD， ∵AC=BD， ∴OG=OE，
∵△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN， ∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON， ∴OG=OE、OM=ON， 在△OGM和△OEN中， ∵
，
∴△OGM≌△OEN（SAS）， ∴GM=EN．
10．（2018?常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E． （1）求证：EA是⊙O的切线； （2）求证：BD=CF．
证明：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴∠OAC=30°，∠BCA=60°， ∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°， ∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°， ∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°， ∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形， ∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠BAF=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∵
，
∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF．
11．（2018?岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，BB'，使点B落在点B′处，连结AB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．
（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；
（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求解：（1）如图1中，
（用含α的式子表示）．
∵B、B′关于EC对称， ∴BB′⊥EC，BE=EB′， ∴∠DEB=∠DAC=90°， ∵∠EDB=∠ADC， ∴∠DBE=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°， ∴△BAB′≌CAD， ∴CD=BB′=2BE．
（2）如图2中，结论：CD=2?BE?tan2α．
理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°， ∴△BAB′∽△CAD， ∴∴
==
=，
，
∴CD=2?BE?tan2α．
（3）如图 3中，
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