∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线； （2）连接OA，∵∠AEC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA?sin∠AOM=4×sin60°=2∴AE=2AM=4
．
，
15．（2018?张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F． （1）求证：DF=AB；
（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．
证明：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF， 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA=90°， ∴∠DFA=∠B， 又∵AD=EA， ∴△ADF≌△EAB， ∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠FDC=∠DAF=30°， ∴AD=2DF， ∵DF=AB， ∴AD=2AB=8．
16．（2018?郴州）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E． 求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由． 解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ， ∵PF∥BC， ∴∠DFP=∠ADF， ∴∠DFQ=∠ADF， ∴△DEF是等腰三角形，
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC， ∴∠P′DC=∠F′DB， 由旋转的性质可知： △DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC， ∴△DPF∽△DCB， ∴△DP′F′∽△DCB ∴
，
∴△DP'C∽△DF'B
②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=BD， ∴
=，
=，
∴tan∠DBF′=当∠DBF′=90°， 此时DF′是斜边，
即DF′＞DB，不符合题意， 当∠DF′B=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=BD， ∴∠DBF′=30°， ∴tan∠DBF′=
17．（2018?永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
=
，CD⊥AB，
证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图， ∵CD⊥AB， ∴∵∴
===
， ， ，
∴∠CBE=∠GCB， ∴CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图， ∵
=
，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH=∴BH=×6=∴OH=∵∴
==
=，，
，
= =
， =，
=，
而∠HOB=∠COM， ∴△OHB∽△OCM， ∴∠OCM=∠OHB=90°， ∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
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