18．（2018?永州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F． （1）求证：四边形BCFD为平行四边形； （2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°， ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点， ∴CE=AB，BE=AB． ∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°， ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°， ∴AD∥BC，即FD∥BC． ∴四边形BCFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴BC=AB=3，AC=∴S平行四边形BCFD=3×
BC=3=9
， ．
19．（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）； （2）求证：CD是⊙O的切线．
解：（1）∵AB=4， ∴OB=2 ∵∠COB=60°， ∴S扇形OBC=
=
∴∠FAC=∠ACO ∴AD∥OC， ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC
∵C在圆上， ∴CD是⊙O的切线
20．（2018?怀化）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 AD=BC ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
sin∠AGF=，（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，求⊙O的半径．
解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为： 证明：∵AD∥BC，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； 故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示； （3）∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上， ∴∠AFB=90°， ∴∠FAG+∠FGA=90°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠FAG=∠EAB， ∴∠AGF=∠ABE， ∴sin∠ABE=sin∠AGF==
，
∵AE=4， ∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
21．（2018?娄底）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB； （2）求证：BC2﹣CE2=CE?DE；
（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
=
，弦CD交AB于
解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°， ∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠PBD；
（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴
=
，即DE?CE=AE?BE，
如图，连接OC，
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