40分钟单元基础小练 32 椭圆的定义、标准方程及性质 一、选择题 x221．椭圆4＋y＝1的离心率为( ) 13A.2 B.2 5C.2 D．2 答案：B 解析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝3，所以椭圆的离心率e＝c3a＝2，故选B. 1m2．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为2，则n＝( ) 34A.4 B.3 32334C.2或3 D.4或3 答案：D 11m－nx2y2解析：若焦点在x轴上，则方程化为1＋1＝1，依题意得1＝mnm1m3y2x2m4，所以n＝4；若焦点在y轴上，则方程化为1＋1＝1，同理可得n＝nm434.所以所求值为34或3. 3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( ) A．2 B．4 C．8 D．22 答案：B 解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4. 4．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
3A．1－2 B．2－3 3－1C.2 D.3－1 答案：D 解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3， x2y2由椭圆的定义可知，方程a2＋b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2， 1＋3得a＝2，c＝1， c2所以离心率e＝a＝＝3－1.故选D. 1＋3?x222?5．已知点P?1，?是椭圆a2＋y＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆2??的左、右顶点，则△PAB的面积为( ) 2A．2 B.4 1C.2 D．1 答案：D 11解析：由题可得a2＋2＝1，∴a2＝2，解得a＝2(负值舍去)，则12S△PAB＝2×2a×2＝1，故选D. x2y26．已知F1，F2分别是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为→·→＋OP→)＝0(O为坐标原点)．→|＝2|PF→|，椭圆上一点，且PF(OF若|PF1112则椭圆的离心率为( ) 6－3A.6－3 B.2 6－5C.6－5 D.2 答案：A 解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行→·→＋OP→)＝0知此平行四边形的对角线互相垂四边形法则，由PF(OF11直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2是直角三角
??2x＋x＝2a，形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则? 222???2x?＋x＝?2c?， ?∴?3?c＝2x，2＋1a＝2x，x2y27．若点O和点F分别为椭圆4＋3＝1的中心和左焦点，点P→·→的最大值为( ) 为椭圆上的任意一点，则OPFPA．2 B．3 C．6 D．8 答案：C x2y2解析：由椭圆4＋3＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2x??121→→2222≤x≤2)，则OP·FP＝x＋x＋y＝x＋x＋3?1－4?＝4x＋x＋3＝4(x＋??→·→取得最大值6. 2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OPFPx2y28．已知直线l：y＝kx与椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( ) ?2??2?A.?，1? B.?0，? 2??2???2??2?C.?，1? D.?0，? 2??2??答案：C 解析：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，1222即c>2a，可得2
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