第4讲 基本不等式
基础知识整合
1．重要不等式
012ab(a，b∈R)(当且仅当□02a＝b时等号成立)． a2＋b2≥□2．基本不等式ab≤
a＋b2
03a>0，b>0； (1)基本不等式成立的条件：□04a＝b时等号成立； (2)等号成立的条件：当且仅当□(3)其中
a＋b2
05算术平均数，ab叫做正数a，b的□06几何平均数． 叫做正数a，b的□3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
07x＝y时，x＋y有□08最小值2P.(简记：“积定和最小”) 那么当□(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
09x＝y时，xy有□10最大值S.(简记：“和定积最大”) 那么当□4
2
1
常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)； (2)ab≤?
?a＋b?2??2?
(a，b∈R)；
(3)??a＋b?2?2
2
?2?
≤a＋b2(a，b∈R)； (4)b＋aab≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( A.1 B.14 C.12 D.22
答案 B
) 2
11
解析 ∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．故
42选B.
14
2．(2019·山西模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
ab7A. 29C. 2答案 C
B.4 D.5
241?14?1?4ab?9??解析 y＝(a＋b)?＋?＝?5＋＋?≥?当且仅当a＝，b＝时等号成立?.故选C.
ba?2?332?ab?2??3.
3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( )
9
B. 2D.32
2
A.9 C.3 答案 B
解析 当a＝－6或a＝3时，3－a3－aa＋6＝0；当－6 a＋6≤ 3－a＋a＋69 ＝， 22 3 当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号． 24．(2019·南昌摸考)已知函数y＝x＋________． 答案 4 解析 ∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋ ＋2≥2x－2 mx－2 (x>2)的最小值为6，则正数m的值为 mmx－2·＋2＝2m＋2，当且仅 x－2 当x＝2＋m时取等号，又函数y＝x＋ ∴2m＋2＝6，解得m＝4. mx－2 (x>2)的最小值为6， 2 5．(2019·大连模拟)函数y＝2x＋(x<0)的最大值为________． x答案 －4 ?2?解析 ∵x<0，∴－x>0，∴(－2x)＋?－?≥2 ?x? 2 －4(当且仅当－2x＝－，即x＝－1时等号成立)． 2?2?－2x·?－?＝4，即y＝2x＋≤?x? xx1a6．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2＋b的最小值为________． 8 3 1答案 4 解析 由a－3b＋6＝0可得a－3b＝－6， 1 又∵2＋b≥28 aa21a－3b－6 ＝22＝(当且仅当a＝－3，b＝1时取等号)， b＝22 84 11a∴2＋b的最小值为. 84 核心考向突破 考向一 利用基本不等式求最值角度1 利用配凑法求最值 例1 (1)已知0 1B. 22D. 3 11?3x＋3－3x?23 解析 ∵0 即x＝时，x(3－3x)取得最大值．故选B. 2 23 (2)设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________． 2x＋12答案 0 解析 y＝x＋ 23?1?1 －＝?x＋?＋－2≥22x＋12?2?1 x＋2 ?x＋1?·1－2＝0，当且仅当x?2?1?? x＋ 2 111 ＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0. 212x＋2 4 触类旁通 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： 1 拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到 等价变形. 2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. 3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 即时训练 1.已知x，y都是非负实数，且x＋y＝2，则________． 1答案 2 解析 ∵x，y都是非负实数，且x＋y＝2，∴x＋2＋y＋4＝8，∴8≥2即 1 8 x＋2y＋4 的最小值为 x＋2y＋4， x＋2 1881 ≥，当且仅当x＝2，y＝0时取等号，则≥＝. y＋416x＋2y＋4162 角度2 利用常数代换法求最值 ?π?则y＝1＋9的取值范围为( ) 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈?0，?，22 2?sinθcosθ? A．[6，＋∞) C．[12，＋∞) 答案 D 19?π?22 解析 ∵θ∈?0，?，∴sinθ，cosθ∈(0,1)，∴y＝＋＝22 2?sinθcosθ? B．[10，＋∞) D．[16，＋∞) ?12＋92?(sin2θ＋cos2θ)＝10＋cosθ＋9sinθ≥10＋2?sinθcosθ?22 sinθcosθ?? cosθ9sinθπ 当且仅当2＝，即θ＝时等号成立．故选D. 2 sinθcosθ6 2 2 22 cosθ9sinθ·＝16，22 sinθcosθ22(2)(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 答案 8 解析 ∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， 12 ∴＋＝1， xaybxyabab4ab?12?∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝4＋＋≥4＋2 ab4a?? bab·＝8， 5 ba
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