在上述测量之后，用光电门控制一台数字毫秒计去测同一个摆的周期，测10次，测量值分布在1.866s到1.868s的小区域中，由于此时的偶然误差显著小于前者，可将光电控制测量的平均值T0作为手控测量的近真值，对于测量值的偶然误差作如下的统计，取T0=1.8670s，则
Ti-T0<0（ε?0） 占48% Ti-T0?0（ε>0） 占52%
多次测量均有同上相似的结果，因而得出如下几点认识： （1） 每次测量的偶然误差是不确定的。 （2） 出现正号或负号偶然误差的机会相近。 （3） 出现绝对值小的偶然误差的机会多一些。 5 .算术平均值与标准偏差 5.1 算术平均值
设n次测量值x1，x2，…, xn的误差为?1，?2，…，?n，真值为a，则
(x1-a)+(x2-a)+…+(xn-a)= ?1+?2+…+?n
将上式展开整理后，两侧除以n，得
11 (x1+x2+…+xn)-a=(?1+?2+…+?n) nn它表示算术平均值的误差，等于各测量值误差的平均值，假如各测量值的误差只是偶然误差，而偶然误差有正有负，相加时可抵消一些，所以n越大，算术平均值越接近真值。因此可以用算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。
又当测量值的误差中包含有已知的系统误差，则相加时它们不能抵消，这时应当用算术平均值加上修正值为被测量真值的最佳估计值（修正值与系统误差绝对值相同，符号相反）。 5.2 标准偏差
具有偶然误差的测量值将是分散的，对分散的情况的定量表示用标准偏差s，
它的定义是为 s=?(x?x)ii?1n2n?1 ①
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n为测量值个数。例，比如有如下两组数值：
A 2.1 2.6 2.8 2.9 3.0 3.2 3.7 B 2.1 2.4 2.7 2.9 3.1 3.4 3.7
两组数值都在2.1到3.7之间，平均值都是2.9，计算标准偏差为sA=0.497≈0.50
sB=0.557≈0.56，可以看出A组数比较像中间集中，B组数则稍差，表现除它们
表1. 两组数值集中程度不同的实验测量数据
分散上的差异。 6．有效数字
在做实验时总要记录很多的数据，并对数据进行计算或处理，但在记录时应取几位，计算后应保留几位，这是实验数据处理的重要问题，必须有一个明确的认识。实验时处理的数值，应能反应出被测量的实际大小的数值，即记录与运算后保留的应为能传递出被测量实际大小信息的全部数字，这样的数字称为有效数字。例如用一最小分度1mm的尺，测得一物体的长度为7.62cm，其中7和6是准确度出来的，最后一位数字2是估读的，并且仪器本身也将在这一位出现误差，即这一位不一定是2，只是近似的，但是还是一位有效数字。在实际取舍时按照实验条件以及题目要求为参考。
使用有效数字规则时的注意事项：[5]（1）物理公式中的有些数值，不是实
1验测量值。例如，测量圆柱体的直径d和长度l求体积V的公式V??d2l中的
411不是测量值，在确定V的有效数字位数时不必考虑的位数。（2）对数运算44时，首数不算有效数字。（3）首位数是8或9的m位数值在乘除运算中，计算有效数字时，可多算一位。（4）有多个数值参加运算时，在运算中途应比按有效数字运算规则规定的多保留一位，以防止由于多次取舍引入计算误差，但运算最后仍应舍去。（4）数值的修约规则：①开始要舍去的第一位数是1、2、3、4时就舍去；是6、7、8、9时在舍去时进1。②要舍去的一位是5，而保留的最后一位是奇数，则舍去5进1，是偶数则舍去5不进位，但是5的下一位不是0是仍然要进位。[5]
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二、物理实验中常用的数据处理与分析方法
实验数据处理的方法有很多，对不同的实验记录数据要选择不一样的数据处理方法，以下介绍几种常用的实验数据处理方法，并最后对各自的优缺点进行总结。 1. 列表法
把数据按一定规律列成表格，可使物理量之间的一一对应关系简明、醒目，也有助于发现实验中的规律。列表时应注意：（1）表格设计合理、简单明了，便于观察。（2）各栏目中均应注明物理量的名称和单位。（3）各量排列顺序尽量与测量数据顺序一致，用有效数字填写。特殊需要可以采用其他规律[7]。这种方法在实验室常用到，如果将实验要记录的数据在表格中一一罗列出来，这样清晰明了，在处理数据是一目了然。如表[2]
表[2] 某物理量的测量
测 量 值 1 物理量名称 ......
2. 分组计算法
设变量x、y间存在y=a+bx的直线关系，由于测量存在误差，对n次测量有
y1?a?bx1?v1?y2?a?bx2?v2???.??
.??.?yn?a?bxn?vn??2 3 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 式中vi表示测量误差。现在将n组测量分为前后两部分，从中取对应的两组：
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yi?a?bxi?vi??yn?a?bxn?vn? i?i?i??222?略去误差项，解出a、b的近似值：
ybi?(yai?i?i?n2?yi?xii?n2xi?n2n2?yi)?bi(x2????? ?xi)????n这样可的个ai和bi，再求a、s(a)和b、s(b)。如n为奇数，中间数可公用。
2
3．最小二乘法[5]
假设变量x、y间存在直线关系y=a+bx，参量a、b分别为y轴截距和斜率，当将测量值(xi,yi)带入此式时，由于存在测量误差yi?a?bxi，引入误差项vi后有yi?a?bxi?vi ， 或 vi?yi?(a?bxi) ，对n次测量，可有
v1?y1?(a?bx1)?v2?y2?(a?bx2)???
?????????????????????vn?yn?(a?bxn)??由于n个方程中有n+2个未知数，所以不能从解联立方程组求出a、b值。设y为等精度测量值，最小二乘法原理指出，满足?vi?极小值条件下求出的参量a、b之值、为最佳拟合值，即从?vi?a?[yi?(a?bxi)]2 ，
^^22^??vi?a^2?0 ，
??vi?b^2???0 得 ? 解此联立方程组，得 ^^?xiyi?a?xi?b?xi2???yi?na?b?xi2ix?y??x?xy??a?n?x?(?x)??? ②
n?xy??x?y??bn?x?(?x)??^i2iiii2i^ii2iii2i第8页
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